多目标分析2

多目标决策分析(II)内容提要•无限方案多目标决策问题–目标规划法–逐步求解法–DIDASS–Geoffrion法–极小化极大法•不精确不完全判断–两两比较的典型类型–一种处理和分析方法无限方案多目标决策问题nixfMaxxfnixfXxXnnixfxxxxfxfxfiXxsisisimnXxMinMax,,2,1),()(,,2,1)()2(,,2,1),(][)](,),([)(11即均达到最大，，，使每个理想情况：找到一为决策变量的可行域目标函数决策变量其中：题，一般可以表示为：无限方案多目标决策问无限方案多目标决策问题引入效用函数后，问题可以改写为：这个解称为最佳调和解达到最大使中找一在多目标决策问题转化为为一标量函数VxXVxfxfVMaxnXx*1(.))()(然而，多目标决策问题的效用函数通常极难得到。处理方法：重点在如何获取和利用决策者的偏好信息目标规划法决策者通常很难说清楚自己的偏好，但在他心里会有一个理想的目标(可能很模糊)。因此，我们取与决策者的理想目标最接近的方案为“最优方案”。ppnjpjjjpXxjnjpjjjppfxfwfxfdMinnjffxfwfxfdd1111ˆ)()ˆ),((:,,,,2,1,ˆ:ˆ)()ˆ),((:多目标决策问题转化为从而为理想点其中定义方案间的偏差我们用某一范数线性目标规划jijmimjjijimjjnjnmjjjbbaAxRxbAxxXNibxaxgtsxcxfxcxfxfMinMax,0,,|,,2,1)(..)()()(11111其中：即：线性多目标问题：0,..)(ˆ1xbAxtsxffwMinnjjjj间的偏差，则如采用绝对值表示方案线性目标规划0,0,0ˆ)()(ˆ00)(ˆ)(ˆ00ˆ)()(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjyyyyfxfyyxffyyyyyxffyxffyfxfyxffxffxffyxffxffy进一步，有为欠偏差为过偏差，因此，称且，有当且－，有显然，当设线性目标规划尽可能小希望尽可能小希望如果和分别加权和们对为了反映这种情况，我求不同，决策者对不同目标的要对于许多实际问题多目标决策问题表示为11,,,2,1,0,0,00,,2,1ˆ)(..:1jjjjjjjjjjjjjjjjjjnjjjjywwy线性目标规划规划。这两模型称为单侧目标同前，即，因此，我们可以设）正相反显然，与情况增加偏好增加随为效益型目标同前，即，因此，我们可以设现显然，决策者不希望出增加偏好降低随为成本型目标考虑两种极端情况..101)()2..010ˆ)()()1:11tsywMinwwfftsywMinwwfxfyffnjjjjjjnjjjjjjjjjjj求解线性目标规划•例题某公司需要确定三种产品P1,P2,P3的产量，在做出决策前，管理层希望达到如下的目标：•目标1：总利润不少于1.25亿美元•目标2：保持现有的4000人的员工水平•目标3：将投资资金控制在5500万美元以内•三个目标在重要性上的排序：目标1，目标2的前半部分避免减少员工，目标3，目标2的后半部分避免增加员工•惩罚权重：总利润5（低于目标每100万美元），员工水平4（低于目标每100名员工）2（高于目标每100名员工）3（超过目标每100万美元）•产品的单位贡献P1P2P3利润12915员工534资金578线性目标规划人们通常对目标的要求可能有“数量级”的差别，如：〖船厂建设问题〗通常要考虑如下指标–首要条件－岸线－水文－地质－水域–主要条件－陆域－交通－生产服务。。。。–一般条件。。。。•可见决策者对不同的指标的要求有时会有“质”的差别线性目标规划•两类“权”系数－“抢先优先权”：表达一种“质”的度量－普通权：表示“量”的差别同前成：从而目标规划可以改写级抢先优先权，有表示第成一定个数的优先类。划分个目标以把按抢先优先权，我们可..1111tsywywPMinPPPlPffnLiJjjjjjillllni线性目标规划求解算法：•令K=1，求线性规划问题，使第一优先级中的各目标得以优化11JjjjjjywywZ•如果K=L，或最优解是唯一解，则停止，否则下一步•令K=K＋1，在满足第K－1优先级及以前各类目标要求的前提下，求线性规划问题，使第K优先级中所有目标得以优化1,,2,1)(..*KiZZtsywywZiiJjjjjjKK增加最多需要求解L个线性规划问题。Excel求解优先目标规划•续前例公司再次明确了目标重要度差异较大，存在不同的优先级，如下：•优先级1总利润不得少于1.25亿美元•优先级2避免员工人数少于4000人•优先级3投资资金控制在5500万美元以内•优先级4避免员工人数超过4000人案例讨论计算之古巴的良方•案例关键点–b)c)说明了对于加权目标规划的影响因素，是目标的偏离权重，以及资源的分配–d)说明了在一定情况下，目标与约束条件的转换逐步求解法基本思想同目标规划，增加与决策者的交互过程。决策者在每次对话中都应该评价所得结果，并确定改进方向。求解过程分为三步：1)求理想点nixfMaxiXx,,2,1)(，称为负理想点。中，我们还可以找到不是可行解。从支付表。一般说来，理想点可设为的值。对应为达到最优的解，为使支付表minmin1min***1****1*1*1*11nnijijiinnnnnfffffffxfffxffxffxfff1f2fminf*逐步求解法2)求调和解0,,2,1)(..:)(),(:),(**1**XxnjxffwtsMinxffwMaxfxfdfxfdMinjjjjjjnjXx问题等价于求如下线性规划其中mjjijijiiimiimjjijixxcxffxxxxcxf1****1*1)()()(从而对应的最优解为：对于线性问题逐步求解法mjijiiiiniiiiiiiiiiimjijicfffwdxfffxffffcxf12*min*1*min**min*12(.,.).,)(:21其中：的权系数定义为：从而，多目标偏差测度敏感的目标对作为权系数以突出可以考虑用目标影响不大。因此，解的变化对这个的变化不太敏感。即，对说明如果这个值比较小再考察乘以将处理对目标函数进行规范化逐步求解法3)与决策者交互对话将2)得出的最优解x1和f1(x1),…,fn(x1)提供给决策者，决策者可以根据自己的意愿调整某些目标值，即他可能认为某些目标太差，而有些可以放宽。如：他可以降低fj(x1)到fj(x1)－fj，并将它作为一个约束重新计算最优解x2和f1(x2),…,fn(x2)，直到满意为止。整目标目标得以体者的偏好主要是通过的的，决策客观的理想点是相对实际上，这种方法得到是固定的。入对对话。但是，理想逐步步求解法的优点是。0系数为被放宽放宽的目标对应;,...,2,1)()()()(1112”“jinixfxffxfxfXXiijjj逐步求解法：例题例：某工厂生产A和B两种产品，A产品每台利润100元，B产品每台利润80元。A产品平均生产时间为3小时/台，B产品平均生产时间为2小时/台。工厂每周生产120小时，尚可加班48小时，加班生产的A产品利润90元/台，B产品利润70元/台。设市场每周需求量为A，B产品各30台以上。问在尽量满足市场的前提下，如何安排生产，才能使利润最大，加班时间最少？量产品加班时间生产的数量产品正常时间生产的数量产品加班时间生产的数量产品正常时间生产的数决策变量：为加班时间为利润；令：BxBxAxAxff::::432121逐步求解法：例题4321'14231432142243211708090100)(14,3,2,104823120233030..23)(708090100)(xxxxxfMinixxxxxxxxxtsxxxfMinxxxxxfMaxi变换为首先统一目标，目标决策模型如下：逐步求解法：例题30530003010204859600391614\)230)(5300)(0301020)()48)(5960)(0391614)())1*2*121*22*2*2221*22*1212*11*1*1'1TTTXxTXxxxfffxxffxffxxfMinaxffxffxxfMina构造支付表求理想点逐步求解法：例题元。小时，利润增加加班时间增加取整后得改造为：小时。从而，决策问题放宽，设不超过者认为加班时间可适当利润较差。例如，决策加班时间比较接近，但与理想点比较取整后得求解以下线性规划问题＝计算权系数1503365520033121836)(),()(|5960708090100..36)53353700311119)()(..)499613.000387.01666.0000645.0)322212221114321121111*2'22*1'112121TTTTfffxxfxfxfxXxxxxxtsMinfffxXxfxfwfxfwtsMin逐步求解法：小结一般情况下，对多目标问题求最小值，当决策者决定放宽对某个目标函数的要求时，约束条件X1相应调整为jixfxffxfxfXXiijjj)()()()(1112同时，令wj=0。当然，可以同时放宽多个目标。STEM法的优点是分析者在每一计算后可以从决策者那里得到一些信息，以确定进一步计算的方向。但是，这一方法采用的理想点是固定的(有一定的客观性，并没有很好地反映决策者的偏好)，决策者的偏好只是在每次调整对目标的要求时得以体现，权系数计算也比较麻烦。DIDASS(1)•传统多目标决策分析方法，主要依赖权系数，存在以下问题：–权系数难以确定•完全两两比较过程相当长•前后不一致–决策者对唯一的“最优”解不一定满足–在分析过程中没有充分包含决策者的经验和判断•DIDASS——交互式的方法–以目标规划为基础–决策者按他试图到达的目标去思考–在分析过程中始终利用决策者自身的知识、经验及对问题的判断DIDASS(2)•求解的基本过程决策者给出要达到的目标Tiniifff1--第i次根据决策者给出的目标(参考点)，系统找到相应的最好结果Tiniifff1ˆˆˆ如果决策者满意，则过程停止；否则要求决策者给出新的参考点1if或改变(调整)某些约束。通过不断反复直至找到一个符合决策者要求的解。DIDASS(3)•DIDASS的基础是参考点法。即，在给定的参考点下，从非劣解集中寻求一个与参考点“最接近”的解。为此，要设计一个标量化函数去评价非劣解与参考点之间的“距离”。可行域1ˆf2ˆf2f1f)ˆ,(ffSDIDASS(4)•设nmRGRX是问题的可行域是目标空间GXf:目标函数定义为标量化函数定义为10:RGGSGfffS),,(要求具有如下性质),(),(1212ffSffSff0*),