结构力学第三章静定梁与静定钢架

1西华大学土木工程学院王周胜讲授基本要求：掌握结构的支座反力的计算，结构的剪力和轴力计算的两种方法，内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅速绘制弯矩图。理解恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧。会根据几何组成寻找求解途径。StaticallyDeterminateBeamandPlaneFrame截面内力计算内力图的形状特征叠加法绘制弯矩图多跨静定梁内力图静定刚架内力图不求或少求反力画弯矩图弯矩图对误判别2西华大学土木工程学院王周胜讲授1、平面杆件的截面内力分量及正负规定轴力N(normalforce)截面应力(stresses)沿轴线切向的合力，以拉力为正，压力为负。NN剪力Q(shearingforce)截面上应力沿轴线法向的合力，以绕隔离体顺时针转为正。QQ弯矩M(bendingmoment)截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。MM图示均为正的轴力和剪力§3.1截面内力(inteernalforces)计算3西华大学土木工程学院王周胜讲授2、截面内力计算方法：轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边。举例1举例2截面法：截开、代替、平衡。内力的直接算式：举例15西华大学土木工程学院王周胜讲授例：求截面1、截面2的内力N2=50N1=141×0.707=100kNQ1=M1=125(下拉）=－50kN－141×cos45o=812.5kNm+141×0.707×10－50×5－5/2×5²Q2=－141×sin45°＝－100kNM2＝5m5m215kN/m50kN141kN125kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓M2＝375kN.m（左拉）45°50×5－125－141×0.707×5＝－375kN.m+5×5－141×0.707=－25kN50+126西华大学土木工程学院王周胜讲授dM/dx=Q微分关系给出了内力图的形状特征NN+ΔNPxΔN=－PXQQ+ΔQPyΔQ=－PyΔM=m增量关系说明了内力图的突变特征3）积分关系：由微分关系可得QB=QA－∫qydxMB＝MA+∫Qdx右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力；右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积。1）微分关系§3.2荷载与内力之间的关系qy↓↓↓↓↓↓↓QQ+dQNN+dNqx→→→→→dxyxMM+dM2）增量关系dN/dx=－qxdQ/dx=－qy，qy向下为正mMM+ΔM7西华大学土木工程学院王周胜讲授内力图形状特征无何载区段均布荷载区段集中力作用处平行轴线斜直线Q=0区段M图平行于轴线Q图M图备注↓↓↓↓↓↓二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P＋－出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行m集中力偶作用面弯矩无定义＋－零、平、斜、抛q、Q、Mq、Q、Mq、Q、Mq、Q、M在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。返回9西华大学土木工程学院王周胜讲授MAMB1）简支梁情况几点注意：弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的拼合，竖标M°，如同M、M′一样垂直杆轴AB，而不是垂直虚线。利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值，少求甚至不求支座反力。而且对以后利用图乘法求位移，也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。＋§3.3叠加法(superpositionmethod)作弯矩图MAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qM'M°MAMBM'M°M举例10西华大学土木工程学院王周胜讲授2）直杆情况QAQB1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线；2、然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓MAMBNANB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABYA°YB°MAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMBM'M°↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlql2/8FPMmax=FPab/lab当a=b=l/2时，Mmax=FPl/4lmm/2llm/2对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩叠加法均适用。举例13西华大学土木工程学院王周胜讲授l/2ll/2ql2/2ql2/4ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlqABDFEqLqL＋－M图Q图qlql2/4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8qlql14西华大学土木工程学院王周胜讲授↓↓↓↓↓↓↓10kN/m15kN60kN.m2m2m2m2m20M图(kN.m)305553030m/2m/2m3030303030303030303015西华大学土木工程学院王周胜讲授↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8kN4kN/mABCGEDF1m16kN.m1m2m2m1m1779－＋Q图（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kN4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓888CE段中点D的弯矩MD=28+8=36kN.m，并不是梁中最大弯矩，梁中最大弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。均布荷载区段的中点弯矩与该段内的最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！M图（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN由QH=QC－qx=0可得：x＝QC/q＝9/4＝2.25(m)MH＝MC+(CH段Q图的面积）＝26+9×2.25÷2＝36.1（kN.m)1m16西华大学土木工程学院王周胜讲授↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqlqlq0cos0qql§3.4简支斜梁计算q+q017西华大学土木工程学院王周胜讲授2222qxxqlMqlYA-ooq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lYA°斜梁：x↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qYAYAo2qlYA=222qxxqlM-=M°由整体平衡：YA↓↓↓↓↓↓xMNQsinsin)2(oQxlqN---coscos)2(oQxlqQ-由分离体平衡可得：斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同，斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。2qlQqx-18西华大学土木工程学院王周胜讲授l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMBMBMAql2/8斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。19西华大学土木工程学院王周胜讲授(由基本部分及附属部分组成)将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分,不能独立平衡其上外力的称为附属部分，附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。ABGHCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABCDEFGH↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABC，DEFG是基本部分，CD，GH是附属部分。§3.5多跨静定梁(staticallydeterminatemulti-spanbeam)20西华大学土木工程学院王周胜讲授桥梁示意图、计算简图、构造层次图、传力途径21西华大学土木工程学院王周胜讲授多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。qaaaa2aaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqaqaqa2qaqa/2qa/2qaqa/2-3qa/49qa/4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqa2qaqa2qaqa2qaqa/2qa/2qa/2qa/2qa/2qa/2qaqaqaqa/2qa/2-3qa/49qa/4-3qa/49qa/422西华大学土木工程学院王周胜讲授qaaaa2aaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqa3qa/49qa/4qa/22qaqaqaqaqa/47qa/4qa/2qa/2qa/2＋＋－－－qa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2Q图（kN）M图（kN.m）23西华大学土木工程学院王周胜讲授40kN20kN/m2m2m2m1m2m2m1m4m2m80kN·mABCDEFGH40404020205040M(kN·m)4024西华大学土木工程学院王周胜讲授例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩与支座处的弯矩的绝对值相等2)2(xlq-↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓--2212)2(qxxxlqMB↓↓↓↓↓↓2)2(xlq-2)2(xlq-qxlllxA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓GBCDEFql/2MG可按叠加法求得：BBGMMqlM-282lx633-qlqxxxlq1222)2(22-qlMB122解得：代入上式：解得：MGMB25西华大学土木工程学院王周胜讲授A↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓GBCDEFqMG=ql2/12MB=ql2/12ql2/24l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓MG=ql2/8由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！演示26西华大学土木工程学院王周胜讲授一、刚架的特点①刚架的内部空间大，便于使用。②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。几何可变体系桁架刚架↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8§4-3静定刚架内力计算及内力图绘制(staticallydeterminateframe)28西华大学土木工程学院王周胜讲授常见的静定刚架类型：1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、主从刚架29西华大学土木工程学院王周胜讲授二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成）1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。2、三铰刚架的反力计算402202qaYqaaYMAAB-20kNXXXBA943kNqaYB-0qaYYYBA6)(2kNqaXA4×-05.1aXaqaMAC整体平衡左半边平衡整体平衡=3kN反力校核↓↓↓↓↓↓aaq1.5aABq=4kN/ma=3mCYAYBXAXB02395.42325.42332×-×××-×22--aYaXqaaXaYMBBAAC如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种方法。30西华大学土木工程学院王周胜讲授aaaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qX1Y1O1Y1X1O2-qaX1qaY120qaaXaYMO--211122YX11-2aXaYMO11202q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓三铰刚架的反力计算方法二（双截面法）31西华大学土木工程学院王周胜讲授↓↓↓↓↓↓aaABCqllqlXAYAYBMB整体∑X=0，XA=－ql，左半边∑Y=0，YA=－0YAXAXBYBAaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qB右半边∑Y=0，YB=0整体∑Y=0，YA=0整体：∑MA＝03qa×a/2－XB×a＝0，XB=1.5qa32西华大学土木工程学院王周胜讲授3、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。4m2m2m2m2m2kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4kN/m2kNABCDEFGHKkNYYkNYMKGK20300kNXXK