结构动力学3-1

1本次课内容：无阻尼自由振动无阻尼自由振动的解结构自振频率和自振周期有阻尼自由振动临界阻尼和阻尼比低阻尼体系运动的衰减和阻尼比的测量自由振动试验结构动力学第3章单自由度体系单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom）System结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定分析单自由度体系的意义：一、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。二、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型第3章单自由度体系3.1无阻尼自由振动3.1无阻尼自由振动自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。运动方程：扰动的表现：自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。3.1无阻尼自由振动无阻尼：c=0自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件：23.1无阻尼自由振动设无阻尼自由振动解的形式为(复习高等数学)：其中：s为待定系数；A为常数特征方程：两个虚根：3.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B—待定常数，由初始条件确定。3.1无阻尼自由振动将位移和速度带入初始条件：得待定常数为：3.1无阻尼自由振动体系无阻尼自由振动的解：其中：无阻尼振动是一个简谐运动(Simpleharmonicmotion)n——自振频率（Naturalfrequency）。3.1无阻尼自由振动无阻尼体系的自由振动3.1无阻尼自由振动结构的自振频率和自振周期自振频率：Naturalfrequency(ofvibration)自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)——结构的重要动力特性结构的自振频率也称为结构的固有频率；结构的自振周期也称为结构的固有周期。33.1无阻尼自由振动结构自振频率和自振周期及其关系：自振圆频率：(单位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(单位：秒,sec)自振频率：(单位：周/秒,赫兹,Hz)3.1无阻尼自由振动自振周期Tn是体系的固有特性。当体系为线弹性时，无论初始条件如何，例如振幅很大或很小(由初始条件产生)，但体系完成一个振动循环所用的时间是相等的，即等于Tn。结构的自振周期(频率)是反映结构动力特性的昀主要的物理量，在描述一个结构的动力特性或实际测量结构动力特性时是必须给出的量。不同结构的自振周期可能相差很大，从一般平房的0.1秒，到200m左右高度的超高层结构的4~5秒，到大型悬索桥的17秒不等。第3章单自由度体系3.2有阻尼自由振动3.2有阻尼自由振动自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件：3.2有阻尼自由振动令u(t)=est，代入运动方程整理得：由此可以得到特征方程的两个根为：3.2有阻尼自由振动u(t)=est当：体系不发生往复的振动；当：体系产生往复的振动。使：成立的阻尼c称为临界阻尼。临界阻尼记为ccr：4临界阻尼体系的自由振动3.2有阻尼自由振动3.2.1临界阻尼和阻尼比临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的昀小阻尼值。临界阻尼是完全由结构的刚度和质量决定的常数。阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用表示。3.2.1临界阻尼和阻尼比（1）当＜1时，称为低阻尼（Underdamped），欠阻尼结构体系称为低阻尼体系；（2）当＝1时，称为临界阻尼（Criticallydamped）；（3）当＞1时，称为过阻尼（Overdamped），结构体系称为过阻尼体系。对于钢结构：钢筋混凝土结构：3.2有阻尼自由振动低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线3.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）将：代入：得：3.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：其中：D—阻尼体系的自振频率53.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）D—阻尼体系的自振频率TD—阻尼体系的自振周期n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期。阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小；阻尼的存在使体系的自振周期变长；当阻尼比＝1时，自振周期TD=∞。3.2.2低阻尼体系阻尼对自由振动的影响3.2.2低阻尼体系现场实测：D和TD理论计算：n和Tn工程中结构的阻尼比在1—5%之间，一般不超过20%，因此可以用有阻尼体系的结果代替无阻尼结果。阻尼对自振频率和自振周期的影响3.2有阻尼自由振动低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大，因而，合理地确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系的阻尼比。对数衰减率法3.2.3运动的衰减和阻尼比的测量相邻振动峰值比：——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。对数衰减率法对数衰减率:阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：6对数衰减率法相隔j周的振动峰值比：对数衰减率：阻尼比：J50%—振幅衰减至50%所需的次数3.2.4自由振动试验阻尼比的测量(当＜20%时)：用位移记录：用加速度记录：结构的自振周期TD的测量：用相邻振幅的时间间隔来计算3.2.4自由振动试验算例3.1用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加P=73kN的水平力，使框架结构产生Δst=5.0cm的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0sec，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm。从以上数据计算：①阻尼比；②无阻尼自振周期Tn；③等效刚度k；④等效质量m；⑤阻尼系数c；⑥位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数。3.2.4自由振动试验解：①计算阻尼比(振动4周；振幅由5.0cm变为2.5cm)ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm代入方程：得：结构属于小阻尼体系。3.2.4自由振动试验②计算无阻尼自振周期Tn(振动周次：4；时间：2秒)有阻尼自振周期：无阻尼自振周期：对于小阻尼体系，自振周期近似等于无阻尼自振周期。3.2.4自由振动试验③计算等效刚度k(外荷载P=73kN，静位移Δst=0.05m)④等效质量m73.2.4自由振动试验⑤阻尼系数c3.2.4自由振动试验⑥位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数