§19.2--含参量反常积分--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.§2含参量反常积分数学分析第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、含参量无界函数反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社含参量反常积分一致收敛性(,)fxy[,)RIc设函数定义在无界区域上,其中I是任意区间.()(,)d(1)cxfxyy都收敛，称(1)为定义在I上的含参量x的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质后退前进目录退出含参量无界函数的反常积分,xI反常积分若()xI是区间上的函数.则数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x)对0,,NcMN,xI使得当时,对一切都有(,)d(),Mcfxyyx即(,)d,Mfxyy或简单地说含参量积分(1)在I上一致收敛.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分则称含参量反常积分(1)在I上一致收敛于(),x数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()(,)dcxfxyy注1由定义,在I上一致收敛于充要条件是()sup(,)d0().AxJAfxyyA的充要条件是000,,,McAMxJ及00(,)d.Afxyy§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分()(,)dcxfxyy注2由定义,在I上不一致收敛使得数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例1讨论含参量反常积分0ed,(0,)xyxyx的一致收敛性.解若0,,xuxy令则edede,xyuxAAxAxyu于是0()suped1,xyAxAxy，§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分因此,含参量积分在(0,)上非一致收敛.[,)()supedxyAxAxy因此,该含参量积分在[,)上一致收敛.而对于任何正数,有e0(),AA数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分一致收敛性的判别含参量反常积分(1)在[,]ab上一致收敛的充要[,],xab对一切的都有21(,)d.(3)AAfxyy条件是:0,,Nc12,AAN使得当时,§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分定理19.8+()=sup(,)dAxIFAfxyy其中充要条件是含参量反常积分在I上一致收敛的(,)dcfxyylim()=0,AFA数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社证作变量代换,uxy得sinsindd,(5)AAxxyuyuyu0,A其中0sinduuu由于收敛,,AM总存在某一实数M,当时就有sind.Auuu但在内[,)(0),上一致收敛其中在(0,)不一致收敛.例2证明含参量反常积分0sind(4)xyyy§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分故对任给的正数数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社,MAMA则当时,0,x对取由(5)式sind,Axyyy所以(4)在0x上一致收敛.又因为§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分+0)sinsinlimddAAuuuuuu++(0,+)(0,+)sinsin()=supd=supdAAxxxxyuFAyuyu0sind=.2uuu(在本节例6中证明.)所以根据定理19.8，(4)在(0,)上不一致收敛.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分若对任意[,],abI含参量积分(1)在[a,b]上一致收敛,则称(1)在I上内闭一致收敛.所以，积分4在(0,+)上内闭一致收敛.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.9111(,)d()(7)nnAnAnnfxyyux函数项级数1{}(nAA其中对任一趋于的递增数列),c在I上一致收敛,其中1()(,)d.nnAnAuxfxyy收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致含参量反常积分(1)在I上一致收敛的充要条件是:§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社0,,Mc上一致收敛,故由(1)在I又由(),nAn所以对正数M,存在正整数N,mnN.mnAAM只要当时,就有由(8)对一切,xI就有11()()(,)d(,)dmnmnAAnmAAuxuxfxyyfxyy1(,)d.mnAAfxyy这就证明了级数(7)在I上一致收敛.证必要性AAM时，,xJ使得当对一切总有(,)d.(8)AAfxyy§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社0(,)d.AAfxyy1211max{1,},McAAM则存在1,xI及现取使得2110(,)d.AAfxyy一般地,取2(1)max{,}(2),nnMnAn则有221,nnnnAAMxI及使得2210(,)d.(9)nnAnAfxyy*充分性00,,McAAMxI和，对使得用反证法.假若(1)在I上不一致收敛,则§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社{}nAlimnnA由上述所得到的数列是递增数列,且111()(,)d.nnAnAnnuxfxyy0,,nN由(9)式知存在正数对任何正整数N,只要就有某个0,xI使得21220()(,)d.nnAnnnAuxfxyy这与级数(7)在I上一致收敛的假设矛盾.现在考察级数.反常积分在I上一致收敛.故含参量注由定理19.9,含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g(y),使得(,)(),(,)[c,).fxygyxyI若()d(,)dccgyyfxyyI收敛,则在上一致收敛.()dcgyy收敛,12,,,NcAAN证由于21()d.AAgyy因此12,[,],AANxcd及2211(,)d()d.AAAAfxyxgyy从而(,)dcfxyyI在上一致收敛.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社狄利克雷判别法设(i)对一切实数,Nc含参量正常积分(,)dNcfxyy对参量x在I上一致有界,,Nc,xI及一切都有(,)d;NcfxyyM,xI(,)gxy(ii)对每一个函数关于y单调且当则含参量反常积分(,)(,)dcfxygxyy在I上一致收敛.时,对参量x,(,)gxy一致收敛于0,y即存在正数M,对一切§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社阿贝尔判别法设(i)(,)dcfxyyI在上一致收敛；,xI(,)gxy(ii)对每一个函数为y的单调函数,且(,)gxyI对参量x,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)dcfxygxyy在I上一致收敛.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例3证明含参量反常积分20cosd(10)1xyxx在(,)上一致收敛.证由于对任何实数y有2cos1xyx及反常积分20d1xx收敛,别法,故由魏尔斯特拉斯M判§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分21,1x(,)上一致收敛.含参量反常积分(10)在数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社证由于反常积分0sindxxx收敛(当然,对于参量y,[0,]d它在上一致收敛),0sined(11)xyxxx在[0,]d上一致收敛.例4证明含参量反常积分[0,]xd个单调,(,)e1.xygxy故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d上一致收敛.(,)exygxy对每一函数0,0ydx都有且对任何§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例5证明:若(,)[,][,)fxyabc在上连续,又(,)dcfxyy(,)dcfxyy在[,)ab上收敛,但在处发散,则xb在[,)ab上不一致收敛.§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分0,,Mc任给总存在,AAM当时对一切[,)xab恒有(,)d.AAfxyy证用反证法.[,)ab上一致收敛,假若积分在则对于数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社(,)[,][,]fxyabAA在(,)dAAfxyy因上连续,所以x是的连续函数.AAM时,,xb得到当在上面不等式中令(,)d.AAfbyy§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分(,)dcfxyyxb而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾.不一致收敛.(,)dcfxyy[,)ab在上所以积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分证若[,](0,+),ab21sind(12)1yxyyy在[0,+)上内闭一致收敛.例6证明含参量积分则对任意[,]xab，cossind=NNaaxyyxyyx2a而21yy关于y单调递减,且2lim0(,1yyxy对一致）因此,根据狄利克雷判别法，含参量积分(12)在[,]ab上一致收敛.[0,+)也即在上内闭一致收敛.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.10（含参量反常积分的连续性）含参量反常积分的性质设(,)[,)fxyIc在上连续,()(,)d(13)cxfxyy在I上一致收敛,在I上一致收敛.{}nA证由定理19.9,对任一递增且趋于的数列1(),Ac函数项级数111()(,)d()(14)nnAnAnnxfxyyux§2含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分若含参量反常积分则在I上连续.()x数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()nuxI都在上连续.定理,(,)[,)fxyIc在上连续,又由于根据函数项级数的连续性§2含参量反常积分一致收敛性一