浙江省嘉兴市2014年中考数学专题复习 第24讲 三角形与全等三角形课件

第24课三角形与全等三角形1．三角形边与边的关系：三角形的任何两边之和________第三边．2．三角形角与角的关系：(1)内角和为_________，外角和为________．(2)一个外角等于_____________________________；一个外角大于_____________________________．大于180°360°与它不相邻的两个内角的和任何一个与它不相邻的内角3．三角形中的主要线段：(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交于一点，该点到三角形各边的距离相等．(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形的三条中线交于一点．(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线所在的直线交于一点．4．全等三角形的性质和判定：(1)性质：全等三角形对应边________，对应角________．相等相等注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．(2)判定：①__________________对应相等的两个三角形全等(SAS)；②__________________对应相等的两个三角形全等(ASA)；③______________________________对应相等的两个三角形全等(AAS)；④__________对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤_____________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．有两条边及夹角有两个角及夹边有两个角及其中一个角的对边三条边斜边和一条直角边1．(2013·温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是()A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，112．(2012·连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是图24－1中的()DC3．(2013·湘西)，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图24－2所示图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是()A．15°B．25°C．30°D．10°图24－1A图24－24．(2013·上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______。5．(2013·义乌)如图24－3所示，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是_______________________．图24－330°AB＝AC(答案不唯一)图24－46．(2013·金华模拟)如图24－4所示，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA＝32°，则∠EFD＝_______．58°7．(2013·宁波模拟)如图24－5所示，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在AB上，若EC＋AC＝3，则△EAD的周长为_____．26图24－5解析：先证明△ACE≌△BCD得AE＝DB，△EAD的周长就为AB＋DE，设EC＝x则AB＝6－2x，ED＝2x所以△EAD的周长为6.题组一三角形边、角的关系边与边的关系【例1】(2013·宁波)如果三角形的两条边长分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是下列数据中的()A．6B．8C．10D．12解：三角形三边关系B[变式训练](2013·杭州一模)如图24－6所示，x的值可能为()A．10B．9C．7D．6解：三角形三边关系B图24－6角与角的关系【例2】(2013·宜昌)探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和存在何种数量关系呢？如图24－7所示，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．图24－7答案：∠FDC＋∠ECD＝∠A＋180°.探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？如图24－8所示，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系。图24－8答案：∠P＝12∠A＋90°.探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？如图24－9所示，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系。图24－9答案：∠P＝12(∠A＋∠B)探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF(如图24－10所示)呢？请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：__________________________________．∠P＝12(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°图24－10[变式训练](2013·达州)如图24－11所示，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝________．图24－11解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1＝∠A1CD－∠A1BC＝12∠ACD－12∠ABC＝12(∠ACD－ABC)＝12∠A.同理可得∠A2013＝(m22013)°(m22013)°题组二三角形全等的性质与判定【例3】(2013·湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图24－12所示，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E.求证：△BPO≌△PDE.(1)理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：图24－12根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程。证明：∵PB＝PD，∴∠2＝∠PBD，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°，∵BO⊥AC，∴∠1＝45°，∴∠1＝∠C＝45°，∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C，∴∠3＝∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，，∴∠BOP＝∠PED＝90°，在△BPO和△PDE中，∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE(AAS)．(2)特殊位置，证明结论若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD.证明：由(1)可得：∠3＝∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠3，∴∠ABP＝∠4，在△ABP和△CPD中，∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，BP＝PD，∴△ABP≌△CPD(AAS)，∴AP＝CD.(3)知识迁移，探索新知：如图24－14所示，若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系(不必写解答过程)．图24－14解：CD′与AP′的数量关系是CD′＝23AP′.理由是设OP＝PC＝x，则AO＝OC＝2x＝BO，则AP＝2x＋x＝3x，由(2)知BO＝PE，PE＝2x，CE＝2x－x＝x，∵∠E＝90°，∠ECD＝∠ACB＝45°，∴DE＝x，由勾股定理得：CD＝2x，即AP＝3x，CD＝2x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′＝23AP′.[变式训练](2013·衢州)[提出问题](1)如图24－15图1所示，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.图24－15证明：∵△ABC，△AMN为等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.[类比探究](2)如图24－15图2所示，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由。解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立理由如下：∵△ABC，△AMN为等边三角形∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.【拓展延伸】(3)如图24－15图3所示，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．解：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.题组三三角形全等的综合应用【例4】(2013·深圳)如图24－16所示，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是()D图24－16A.13B.617C.55D.1010解：如图24－17所示，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC＝90°，AC＝BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，图24－17设CD＝BE＝t，得AC＝5t，AB＝10t，∴sinα的值为1010.[变式训练](2013·重庆)如图24－18所示，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为___________．94，94图24－18解析：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝x，求出DN＝2x－1，得出2x－1＝1，求出x＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝5，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx＋3，把D(3，2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．