1997-2018年考研数学1真题

11997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sincoslim(1cos)ln(1)xxxxxx=_____________.(2)设幂级数1nnnax的收敛半径为3,则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e在点2(,)(e,)2处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311tAB为三阶非零矩阵,且,ABO则t=_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)fxy22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyxyxyxy,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]ab上()0,()0,()0.fxfxfx令1231(),()(),[()()](),2baSfxdxSfbbaSfafbba则(A)123SSS(B)213SSS(C)312SSS(D)231SSS(3)设2sin()esin,xtxFxtdt则()Fx(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数2(4)设111122232333,,,abcabcabcααα则三条直线1112223330,0,0axbycaxbycaxbyc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)rααα秩12(,)rαα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量32XY的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),Ixydv其中为平面曲线220yzx绕z轴旋转一周所成的曲面与平面8z所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),czydxxzdyxydz其中c是曲线2212xyxyz从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N在0t时刻已掌握新技术的人数为0,x在任意时刻t已掌握新技术的人数为()(xt将()xt视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k求().xt四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l030xybxayz在平面上,而平面与曲面22zxy相切于点(1,2,5),求,ab之值.3(2)设函数()fu具有二阶连续导数,而(esin)xzfy满足方程22222e,xzzzxy求().fu五、(本题满分6分)设()fx连续10,()(),xfxtdt且0()lim(xfxAAx为常数),求()x并讨论()x在0x处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2nnnaaana证明(1)limnxa存在.(2)级数11(1)nnnaa收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B是秩为2的54矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTTααα是齐次线性方程组xB0的解向量,求xB0的解空间的一个标准正交基.4(2)已知111ξ是矩阵2125312abA的一个特征向量.1)试确定,ab参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为.B(1)证明B可逆.(2)求1.AB九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为()fx(1)0x01x其它其中1是未知参数12,,,,nXXX是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.51998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)20112limxxxx=_____________.(2)设1()(),,zfxyyxyfx具有二阶连续导数,则2zxy=_____________.(3)设l为椭圆221,43xy其周长记为,a则22(234)Lxyxyds=_____________.(4)设A为n阶矩阵*,0,AA为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则*2()AE必有特征值_____________.(5)设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,eyxx所围成,二维随机变量(,)XY在区域D上服从均匀分布,则(,)XY关于X的边缘概率密度在2x处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx连续,则220()xdtfxtdtdx=(A)2()xfx(B)2()xfx(C)22()xfx(D)22()xfx(2)函数23()(2)fxxxxx不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()yyx在任意点x处的增量2,1yxyx且当0x时,是x的高阶无穷小,(0)y,则(1)y等于(A)2(B)(C)4e(D)4e(4)设矩阵6111222333abcabcabc是满秩的,则直线333121212xaybzcaabbcc与直线111232323xaybzcaabbcc(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,AB是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA则必有(A)(|)(|)PABPAB(B)(|)(|)PABPAB(C)()()()PABPAPB(D)()()()PABPAPB三、(本题满分5分)求直线11:111xyzl在平面:210xyz上的投影直线0l的方程,并求0l绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面0x上的向量42242(,)2()()xyxyxyxxyAij为某二元函数(,)uxy的梯度,并求(,).uxy五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m体积为,B海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).kk试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式().yyv7六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydzzadxdyxyz其中为下半平面222zaxy的上侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sinsinsinlim.1112xnnnnnn八、（本题满分5分）设正向数列{}na单调减少,且1(1)nnna发散,试问级数11()1nnna是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()yfx是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x使得在区间0[0,]x上以0()fx为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x上以()yfx为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()fx在区间(0,1)内可导,且2()(),fxfxx证明(1)中的0x是唯一的.8十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz可以经过正交变换xyzP化为椭圆柱面方程2244,求,ab的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵,若存在正整数,k使线性方程组kxA0有解向量,α且1.kAα0证明:向量组1,,,kαAαAα是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTnnnnnnbbbbbbbbb试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnbybybybybybybybyby的通解,并说明理由.9十三、（本题满分6分）设两个随机变量,XY相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量XY的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附:标准正态分布表221()e2tzxdtz1.281.6451.962.33()x0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t分布表{()()}pPtntnp0.950.975351.68962.0301361.68832.0281101999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tanxxxx=_____________.(2)20sin()xdxtdtdx=_____________.(3)24exyy的通解为y=_____________.(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,AB和C满足条件:1,()()(),2ABCPAPBPC且已知9(),16PABC则()PA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx是连续函数,()Fx是()fx的原函数,则(A)当()fx是奇函数时,()Fx必是偶函数(B)当()fx是偶函数时,()Fx必是奇函数(C)当()fx是周期函数时,()Fx必是周期函数(D)当()fx是单调增函数时,()Fx必是单调增函数(2)设21