【新课标】备战2012年高考数学(文)二轮专题03课时《函数的导数及其应用》

1专题一不等式、函数与导数21．充分理解导数即瞬时变化率，它是平均变化率的极限，路程对时间的瞬时变化率是瞬时速度，速度对时间的瞬时变化率是瞬时加速度等．2．会用导数研究函数图象的形状：单调性、极值、最值等．注意f(x)“在M上单调”与“它的单调区间为M”的区别；注意极值与极值点的区别．另外，可构造辅助函数，研究方程根的个数，证明不等式等．3．结合图形，理解在P点处的切线与过点P的切线的区别．切线问题的核心是抓住一个等量关系沟通已知与待定．设切点为P(x0，y0），则切线的斜率为k=f′(x0)．通过切点沟通曲线与切线．3【例1】(2010浙江杭州第一次数学质检)已知a∈R，函数f(x)=x2(x-a)．(1)当a=3时，求f(x)的零点；(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值．求函数在某区间上的最值，可先利用导数求得极值点，再以极值点与给定区间的位置关系为标准进行分类讨论．22 ()(-3)()0..2()3-23(12-3)1,230xxfxxxfxmfxxaxxxax由题意得，由，解得设此最小值为，或．1.函数极值、最值问题40()01,2()1,211-.200()0()322[)0()3320()[0]32()2328-43afxxfxmfaaaxxfxfxaaxfxafxaamfa①当时，，，则是区间上的增函数，所以②当时，且或时，，从而在区间，上是增函数；当时，，从而在，上是减函数；ⅰ当，即时，；5332324()123()-323273()0131-()243-(3)2724(2-)(31-.2.)aaaamaaaaaamfamfaⅱ当，即时，；ⅲ当时，综上所述，所求函数的最小值为：6(1)已知f(x)在M上递增，则f′(x)≥0在M上恒成立；(2)讨论某区间上函数的最值问题，可通过画图、截取、观察获得．7【变式训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在[-3,1]上的最大值；(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．将过点P的切线方程与y=3x+1建立等价关系式,再利用y=f(x)在x=-2时有极值可确定a，b，c的值．第(3)问可转化为f′(x)≥0在[-2,1]上恒成立时b的取值范围．8(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c，所以f′(x)=3x2+2ax+b.过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)．而已知过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.故，即因为y=f(x)在x=-2时有极值，故f′(-2)=0.所以-4a+b=-12.③由①②③联立解得a=2，b=-4，c=5，所以f(x)=x3+2x2-4x+5.32321abac203abca9(2)f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，令f′(x)=0，解得x=或x=-2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值为f(-2)=13，极小值为f()=.又因为f(-3)=8，f(1)=4，所以f(x)在[-3,1]上的最大值为13.(3)y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增．x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1f(x)+0-0+f(x)8↗极大值↘极小值↗42323232323952710又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0.所以f′(x)=3x2-bx+b.依题意知，在[-2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立，当x=≥1，即b≥6时，f′(x)min=f′(1)=3-b+b≥0，所以b≥6；当x=≤-2，即b≤-12时，f′(x)min=f′(-2)=12+2b+b≥0，所以b不存在；当-2＜＜1，即-12＜b＜6时，f′(x)min=f′()=≥0，所以0≤b＜6.综上所述b≥0.6b6b6b6b221212bb112.函数单调性问题2e1.112200xfxxaxafxxfxa设函数若，求的单调区间；若当时，，求的取【例2】值范围．12211e122e1ee11(1)01,00(0)0.(1)(0)1,01xxxxafxxxfxxxxxfxxfxxfxfx当时，，．当，时，；当时，；、当，时，故在，，，上单调递增，在上单调递减．13e1e1e.1(0)000000.1(0ln)000(0ln)02(10]xxxfxxaxgxaxgxaaxgxgxgxgxfxaxagxgxgxagaxfx．令，则若，则当，时，，为增函数．而，从而当时，，所以若，则当，时，，为减函数，而，从而当，时，，所以的取值范围，不合题为意．综，上，．14利用导数可讨论函数的极值、最值及单调区间．对含参问题注意参数对问题结论及解法的影响，细心进行分类讨论．15【变式训练】(2011·4月镇海中学模拟)设函数f(x)=(x2+mx)e-x(m∈R)(e为自然对数的底数)．(1)求证：f(x)在R上不是单调函数；(2)若f(x)=2在(0,1)内有解，求m的取值范围．16222222ee2e.e04012240xxxxfxxmxmxxmxmfxgxxmxmmmmgxfxfxRR假设在上是单调函数，因为，函数开口向下，考虑其，因此恒小于零不成立，则不恒成立，因此假设错误，则在上不是单调函数．17222222e.2210,100,112e120,1(2e1)2xxxxefxxmxmxxeexxhxxhxxxxhxhxxmhfxm因为，所以，令，因为，则，则函数在上单调递减，因此，因此，如果在内有解，的取值范围是，．183.函数、导数的综合问题222ln0.12e1e[1e](e)fxaxxaxafxafxx设函数，求的单调区间；求所有实数，使对，恒成立注：为自然对数的【3】底数例．12利用求导的思想即可求出函数的单调区间；由上一问的结论和最值法的思想即可得解．1922222221(0)()2ln0()(2)2.0111.1[1]1[1](1)11().因为，其中，所以由于，所以由的增区间为，题意得，，即由知在，内单调递增，要使，减区间对，恒成立，只要，解为，得fxaxxaxxaxaxafxxaxxafaeaefxeefxexefaefeaeaeefxaaae20(1)f′(x0)=0是x0为函数f(x)的极值点的必要不充分条件．(2)恒成立问题一般用分离参数法或转化为求最值问题．21324321()21322,331521fxxaxafxyafxamgxxxmxfxmR已知函数．若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于轴的切线，求的值；若在区间内有两个不同的极值点，求的取值范围；在的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰好有三个交点？若存在，求出实数的值；若不存在，【变式训练】说明理由．22222()0.323223()201.332,1293,0(0302,3020930.3022)233依题意，因为，所以，所以若在区间内有两个不同的极值点，则方程在区间内有两个不同的实根，所以，解得，且的取值围是，．所以范ffxxaxaafxfxafaafa2332432324322221115211521410041016410331.103,1(1在的条件下，即，要使与的图象恰有三个交点，等价于方程，即恰好有三个不同的实数根．因为是方程的一个根，所以应使方程有两个不相同的非零实根，则，解得且所以存在，afxxxgxxxmxxxxxmxxxxmxxxmmmmmm)，使函数与的图象恰有三个不同的交点．fxgx241．函数单调性的应用(1)若f′(x)＞0在区间(a，b)上恒成立，则函数f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)＜0在区间(a，b)上恒成立，则函数f(x)在(a，b)上单调递减．2．函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；25(3)注意导函数的图象与原函数的图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)得出结论．