缉私艇追击走私船问题论文

基于微分模型下的缉私问题摘要为了研究缉私艇追击走私船问题，我们通过对缉私船以及走私船之间的运动轨迹关系进行讨论，通过结合两者之间的相互关系，建立相应微分方程模型。首先，对问题一，我们建立缉私船与走私船之间的坐标系，得出缉私船及走私船之间的关系并得到其微分方程。然后将得到的微分方程方程简化，得到微分模型的方程,0)(,0)(1222cycybardxdyrdxydx，对bar与1之间的关系进行讨论，得到：当1bar时，方程的解析解为211111112rcrcxrcxrcyrr即当0x时,缉私船能追上走私船，此时21rcry，)()1(222abbcracrayt当1bar时，缉私船不能追上走私船。其次，对问题二，根据题设给出的条件c=3千米，a=0.4千米/秒，b=0.8千米/秒结合问题一建立的微分方程模型，通过matlab软件绘制出缉私艇追赶走私船运动轨迹的图形。然后我们利用计算机仿真算法，模拟缉私艇追击走私船的动态过程。从而实现对缉私艇整个追击过程的完美拟合。关键字：微分方程模型；matlab仿真法；缉私艇追击过程AbstractTostudytheanti-smugglingsmugglingboatchase,wetrajectorythroughtherelationshipbetweenanti-smugglingboatsandsmugglingboattodiscuss,throughacombinationofmutualrelationsbetweenthetwodifferentialequationstomodelappropriate.First,aproblem,wehaveestablishedsmugglingcoordinatebetweentheshipandthesmugglingboat,drawanti-smugglingandsmugglingboatrelationshipbetweenshipandgettheirequations.Thedifferentialequationisthensimplifiedtogivethedifferentialequationmodel,0)(,0)(1222cycybardxdyrdxydx，Therelationshipbetweenadiscussion,weget:Atthat1bartime,theanalyticalsolutionfortheequation211111112rcrcxrcxrcyrrThat0xtime,theanti-smugglingboatscancatchsmugglers,then21rcry，)()1(222abbcracraytAtthat1bartime,theanti-smugglingboatscannotcatchsmugglers.Secondly,thequestiontwo,accordingtothetitlegivenconditionssetc=3onethousandmeters,a=0.4km/s,b=differentialequationmodel0.8km/seccombinedwithaproblemcreatedbymatlabsoftwaretomapoutanti-smugglingcatchsmugglerstrajectorygraphics.Thenweusecomputersimulationalgorithms,simulatedanti-smugglingsmugglingboatchasedynamicprocess.Anti-smugglinginordertoachievetheperfectfitthroughoutthecourseofthepursuit.Keywords:differentialequationmodel;matlabsimulationmethod;anti-smugglingchaseprocedure一、问题重述1.1问题的提出缉私艇追击走私船问题:海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。试建立合理的数学模型解决以下问题:(1)求鱼雷在追踪攻击过程中的一般运动轨迹方程，并给出缉私艇能追上走私船的条件。(2)取c=3千米，a=0.4千米/秒，b=0.8千米/秒时，请给出缉私艇追赶路线的图形，并用计算机模拟此目标跟踪的全过程。二、符号说明符号解释c初始时刻，缉私艇与走私船的距离a走私船匀速行驶速度b缉私艇追击走私船的最大速度r走私船速度与缉私船最大速度比Rt时刻走私船位置Dt时刻缉私艇位置s缉私艇航行路程三、模型假设1.假设在追击过程中，不会发生意外情况，走私船以速度a匀速沿直线行走。2.没有意外发生，在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。3.假设缉私艇以最大速度b匀速追赶走私船。四、问题分析4.1问题一的分析该问题给出了走私船匀速行驶的速度a，缉私艇最大追赶速度b，以及两船初始位置相距c公里。我们利用这些数据建立的缉私艇追击走私船问题数学模型来解决缉私艇在追踪攻击过程中的一般运动轨迹方程，并给出缉私艇能追上走私船的条件这个问题。通过建立坐标系，更加直观展现追击过程，然后利用微分方法建立微分方程，从而得出缉私艇追击走私船问题的微分方程模型。4.2问题二的分析我们利用问题一建立缉私艇追击走私船问题的微分方程模型，对各未知常量进行赋值，将这些值代入模型一求解出的缉私艇一般运动轨迹方程中，可以得到一条具体的缉私艇追击路线方程，用matlab软件绘制缉私艇追赶路线的图形。然后用matlab软件仿真法模拟此目标跟踪的全过程。五、模型的建立与求解5.1问题一的解答5.1.1缉私艇追击走私船的模型建立首先应做如下基本假设：(1)建立直角坐标系；(2)缉私艇在)0,(c处发现走私船在)0,0(处；(3)走私船逃跑方向为y轴方向；(4)t时刻，走私船到达),0(atR，缉私舰到达),(yxD；(5)缉私艇的运动轨迹为)(xyy；(6)设t时刻缉私艇的行驶方向偏离海岸线的角度即与坐标x轴的夹角为yR(0,at)Dy0(c,0)xx图一：缉私艇追击走私船的运动轨迹因为缉私艇的行驶方向始终指向走私船，即缉私艇追击路线的切线始终经过走私船这一点，所以我们可以得出模型微分方程：xatydxdy)tan(化简后得：atydxdyx对t求导化简得：dxdtadxydx22式5.1又令s表示缉私艇行驶的路程，则有bdtds，联合式5.1得到以下公式2)(11.dxdybdxdsdsdtdxdt式5.2结合式5.1、式5.2得到如下微分方程：barcycydxdyrdxydx其中，0)(,0)()(1222式5.35.1.2求解模型的解析解1.首先令dxdpdxydpdxdy22，，则由式5.3得出0)(12cpxdxrpdp式5.4rcxpp21式5.5rxcpp21式5.6结合式5.4，式5.5，式5.6得到如下微分方程：0)(21cyxccxdxdyrr式5.7(1)当1bar时，式5.7的解为211111112rcrcxrcxrcyrr当0x时，21rcry，)()1(222abbcracrayt(2)当1bar时，式5.7的解为111112211rcrxcrcxrcyrr当0x时，y，缉私艇不可能追赶上走私船。(3)当1r时，式5.7的解为cxcccxyln22122当0x时，y，缉私艇不可能追赶上走私船。5.2问题二的解答问题二需要使用matlab软件来绘制缉私艇追赶路线的图形，以及模拟此目标跟踪的全过程。1.首先用matlab软件来绘制缉私艇追赶路线的图形我们运用MATLAB软件绘图，当c=3千米，a=0.4千米/秒，取b=0.8千米/秒时，缉私艇追赶路线的图形。00.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.61.82缉私艇追击路线2.追击问题的动态仿真算法一般情况下建立动态微分方程是比较困难的，我们可以用计算机仿真发对系统进行分析研究。所谓计算机仿真就是利用计算机对实际动态系统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此来预测系统的行为效果。下面我们对缉私艇追击走私船的过程进行计算机仿真算法。走私船初始位在点(0,0)，方向为y轴正方向，缉私艇的初始位在点(c,0)，ktt，走私船的位置：),0(kat，缉私艇的位置：),(kkyx追赶方向可用方向余弦表示为：22)()0(0coskkkkkyatxx22)()0(sinkkkkkkyatxyat时间步长为t，则在时刻ttk时：,cos1kkkktbxxxkkkktbyyysin1仿真算法：第一步：设置时间步长t，速度a,b及初始位置0,00ycx第二步：计算动点缉私艇D在时刻tttkk1时的坐标),(11kkyx221)(kkkkkkyatxxtbxx221)(kkkkkkyatxyattbyy计算走私船R在时刻tttkk1时的坐标，)~,~(11kkyx)(~,0~11ttayxkkk第三步：计算缉私艇与走私船这两个动点之间的距离：211211)~()~(kkkkkyyxxd根据事先给定的距离，判断缉私艇是否已经追上了走私船，从而判断退出循环还是让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环；第四步：当从上述循环退出后，由点列),(11kkyx和)~,~(11kkyx可分别绘制成两条曲线即为缉私艇和走私船走过的轨迹曲线。取c=3千米，a=0.4千米/分钟，b=0.8千米/分钟，得到计算机仿真运动轨迹如下：00.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.61.82六、模型的评价6.1模型的优点本文通过对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述，分析了，从而解决了实际问题。一般情况下建立动态微分方程是比较困难的，本文用MATLAB软件仿真法，对实际动态系统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此来预测系统的行为效果。很好的解决了缉私艇追击走私船动态过程的模拟。6.2模型的不足为了用计算机模拟此目标跟踪的全过程，需要使用计算机仿真法来模拟，难免会存在一些系统误差，这是不可避免的。七、参考文献[1]姜启源谢金星叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011.1八、附录8.1计算机模拟此目标跟踪的全过程的程序c=3;a=0.4/60;b=0.8/60;jstxb=[];jstyb=[];zscxb=[];zscyb=[];d=0.01;dt=2;t=0;jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0;while(sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)d)t=t+dt;jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);jstxb=[jstxb,jstx];jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-js