高中数学-圆锥曲线知识点小结

助飞教育1《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：||221FFa表示椭圆；||221FFa表示线段21FF；||221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQxOF1F2PyA2B2B1xOF1F2PyA2A1B1B2A1助飞教育2二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222byax，因式分解得到0xyab。②与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；xOF1PB2B1F2xOF1F2PyA2A1y助飞教育3（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2||||0pxPF2||||0pyPF焦点弦焦准距pOFPylxOFPylxOFPylxxOFPyl助飞教育4四、弦长公式：||14)(1||1||2212212212AkxxxxkxxkAB其中,,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和2x的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21，ACxx21；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程,02CByAy则相应的弦长公式是：||)1(14)()1(1||)1(1||2212212212AkyyyykyykAB注意（1）上面用到了关系式||4)(||2122121Axxxxxx和||4)(2122121Ayyyyyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210xxx；再把0xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)助飞教育5例1：设点P是圆224xy上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足2PMMD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为,xy，点P的坐标为00,xy，由2PMMD，得00,28,xxyyxy，即0316xx，03yy．因为点P00,xy在圆224xy上，所以22004xy．即2231634xy，即2216439xy，这就是动点M的轨迹方程．例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab，由椭圆的定义可知：222253532(20(202102222a）（））（）10a又2222,6cbac所以所求的标准方程为221106xy解法222222,4cbaca，所以可设所求的方程为222214xyaa，将点53(,)22代人解得：10a所以所求的标准方程为221106xy例3.助飞教育6例4.习题：1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是（）（A）5x2＋3y2＝1（B）25x2＋9y2＝1（C）3x2＋5y2＝1（D）9x2＋25y2＝12．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A）21（B）22（C）23（D）333.已知椭圆x2＋2y2＝m，则下列与m无关的是（）（A）焦点坐标（B）准线方程（C）焦距（D）离心率4.椭圆mx2＋y2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（）（A）1（B）1或2（C）2（D）21或15椭圆的中心为O，左焦点为F1，P是椭圆上一点，已知△PF1O为正三角形，则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是（）（A）3－1（B）3－3（C）3（D）16.若椭圆my12m3x22=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是。助飞教育77．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。8.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x－y－4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。（A）36x2+20y2=1（B）36x2+20y2=1或20x2+36y2=1（C）9x2+5y2=1（D）9x2+5y2=1或5x2+9y2=110．椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是（）。（A）(±3,0)（B）(±31,0)（C）(±203,0)（D）(0,±203)11.曲线25x2＋9y2=1与曲线k25x2－＋k9y2=1(k9)，具有的等量关系是（）。（A）有相等的长、短轴（B）有相等的焦距（C）有相等的离心率（D）一相同的准线12.椭圆4x2＋16y2=1的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标是，13.已知两点A(－3,0)与B(3,0)，若|PA|＋|PB|=10,那么P点的轨迹方程是。14.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为5185，焦距为25，则椭圆的方程为。15.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆14y9x22共焦点，并经过点P(3,－2)，则椭圆的方程为。16.在椭圆40x2＋10y2=1内有一点M(4,－1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程。17.椭圆8kx2＋9y2=1的离心率e=21,则k的值是。18.平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（）。（A）16x2－9y2＝1(x≤－4)（B）9x2－16y2＝1(x≤－3)（C）16x2－9y2＝1(x≥4)（D）9x2－16y2＝1(x≥3)助飞教育819双曲线36x2－49y2＝1的渐近线方程是()（A）36x±49y＝0（B）36y±49x＝0（C）6x±7y＝0（D）7x±6y＝020.双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（）（A）(a1,0),(－a1,0)（B）(a1,0),(－a1,0)（C）（－aa1,0）,（aa1,0）（D）(－aa1,0),(aa1,0)21.设双曲线1byax2222(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，已知原点到直线l的距离是43c，则双曲线的离心率是（）（A）2（B）3（C）2（D）33222.双曲线9x2－7y2＝1的离心率是。23,已知方程k3x2+k2y2=1表示双曲线，则k的取值范围是。24.双曲线4x2－9y2=1的渐近线方程是（）。（A）y=±32x（B）y=±61x（C）y=±23x（D）y=±6x25.若双曲线与椭圆x2＋4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x＋3y=0，则此双曲线的标准方程只能是（）。（A）36x2－12y2=1（B）36y2－12x2=1（C）36x2－12y2=±1（D）36y2－12x2=±126．和椭圆25x2＋9y2=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（）。（A）4x2－14y2=1（B）4x2－12y2=1（C）6x2－14y2=1（D）6x2－12y2=127.双曲线的两准线间的距离是它的焦距的31，则它的离心率为。28.双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e=。29.中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1,3)的等轴双曲线的方程是。助飞教育930.渐近线是3x±4y=0，且经过P(62,8)的双曲线方程是。31.和椭圆9x2＋4y2=1有公共的焦点，离心率e=25的双曲线方程是。32.59.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。33.过双曲线9x2－16y2=