2019年高考数学试卷(理科新课标Ⅰ)

第1页，共22页2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}，则M∩N=（）A.{𝑥|−4𝑥3}B.{𝑥|−4𝑥−2}C.{𝑥|−2𝑥2}D.{𝑥|2𝑥3}2.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则()A.(𝑥+1)2+𝑦2=1B.(𝑥−1)2+𝑦2=1C.𝑥2+(𝑦−1)2=1D.𝑥2+(𝑦+1)2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑎𝑐𝑏C.𝑐𝑎𝑏D.𝑏𝑐𝑎4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.函数f（x）=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥2在[-π，π]的图象大致为（）A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）第2页，共22页A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗满足|𝑎⃗⃗|=2|𝑏⃗|，且（𝑎⃗⃗-𝑏⃗）⊥𝑏⃗，则𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为（）A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（）A.𝐴=12+𝐴B.𝐴=2+1𝐴C.𝐴=11+2𝐴D.𝐴=1+12𝐴9.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A.𝑎𝑛=2𝑛−5B.𝑎𝑛=3𝑛−10C.𝑆𝑛=2𝑛2−8𝑛D.𝑆𝑛=12𝑛2−2𝑛10.已知椭圆C的焦点为F1（－1，0），F2（1，0）过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为A.𝑥22+𝑦2=1B.𝑥23+𝑦22=1C.𝑥24+𝑦23=1D.𝑥25+𝑦24=111.关于函数f（x）＝sin|x|＋|sinx|，有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（𝜋2，π）上单调递增③f（x）在[－π，π]上有4个零点④f（x）的最大值是2其中所有正确结论的编号是第3页，共22页A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A.8√6𝜋B.4√6𝜋C.2√6𝜋D.√6𝜋二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y＝3（x2＋x）ex在点（0，0）处的切线方程为________．14.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若𝑎1=13，𝑎42=𝑎6，则S5＝________．15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16.已知双曲线C：𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC．（1）求A；（2）若√2a+b=2c，求sinC．18.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A－MA1－N的正弦值．第4页，共22页19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，求|AB|．20.已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（-1，𝜋2）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．（i）证明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．第5页，共22页22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=1−𝑡21+𝑡2，𝑦=4𝑡1+𝑡2（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）1𝑎+1𝑏+1𝑐≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．第6页，共22页答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，∴M∩N={x|-2＜x＜2}．故选：C．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．由z在复平面内对应的点为（x，y），可得z=x+yi，然后根据|z-i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z=x+yi，∴z-i=x+（y-1）i，∴|z-i|=，∴x2+（y-1）2=1，故选：C．3.【答案】B【解析】解：a=log20.2＜log21=0，b=20.2＞20=1，∵0＜0.20.3＜0.20=1，∴c=0.20.3∈（0，1），第7页，共22页∴a＜c＜b，故选：B．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．4.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选：B．充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】第8页，共22页解：∵f（x）=，x∈[-π，π]，∴f（-x）==-=-f（x），∴f（x）为[-π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（）=，因此排除B，C；故选：D．由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．6.【答案】A【解析】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p===．故选：A．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵（-）⊥，∴=，第9页，共22页∴==，∵，∴．故选：B．由（-）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=，k=1；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=2；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，第10页，共22页观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=．故选：A．9.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S4=0，a5=5，得，∴，∴an=2n-5，，故选：A．10.【答案】B【解析】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=，∴|AF2|=a，|BF1|=a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=，第11页，共22页在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=．b2=a2-c2=3-1=2．所以椭圆C的方程为：+=1．故选：B．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程．本题考查了椭圆的性质，属中档题．11.【答案】C【解析】解：f（-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sinx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，故①正确.当x∈（，π）时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f（x）=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误.当0≤x≤π时，f（x）=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f（x）=0得2sinx=0,得x=0或x=π，由f（x）是偶函数，得在[-π，π）上还有一个零点x=-π，即函数f（x）在[-π，π]上有3个零点，故③错误.