13统计光学(3)光波的一阶统计性质

统计光学2010.10.(3)光波的一阶统计性质光辐射的统计特性，包括一阶性质(在一个时刻的性质)、二阶(两个时刻的)性质和高价(三个或更多个时刻的)性质。本节限于讨论光波的一阶统计特性。本节的讨论完全是在经典框架内进行的。因为从实际工程应用的观点看来，经典理论（从麦克斯韦理论出发）几乎对全部光学系统工程的实验都是可以完全胜任的。光振动是高频振荡。振动周期一般为10-15秒，现有的光探测器最快的时间分辨率为10-12秒。§1光波的传播光辐射通常是由一段段有限长(约为10－9秒)的波列组成的，每一段波列的振幅和频率在持续时间内保持不变或缓慢变化，前后波列间没有固定的相位关系。光辐射是电磁辐射：热辐射，受激辐射。现有光探测器只能探测光的平均功率，不可能检测出光场随时间变化的函数关系。严格的单色光分成两束后，在空间相遇，那么这两束光的涨落是一致的，或者说是相关的，可形成稳定的干涉场，称为完全相干光束。0()exp2jutAejt一、单色光具有恒定的振幅、频率和初相位的无限长波列(振幅为不随时间变化的常量，而相位随时间作线性变化)。光振荡在时间分布上无限延续，空间上无限延伸的，光的迭加服从光场的复振幅迭加原则。令u(p,t)代表一个单色光波动的电场或磁场一个偏振分量的标量振动，u(p,t)对应的解析信号为2011(,)(,)jreupupxdsjr2(,)(,)jtuptupe01x0Pr1Pds对于任一非单色光束（来自不同原子、分子发射的光束），电场是时间的涨落函数，彼此是完全不相关的，不能形成稳定的干涉场，从平均效应来看，没有干涉效应，观察不到任何干涉现象。我们称它为完全不相干的，光束的迭加服从光强度相加的原则。二、非单色光源在非单色光源所产生的光场中，场中某点的振幅和相位随机涨落的速度基本上取决于光源的有效频谱宽度，只有当测量时间τ比小得多时，振幅才大体上保持不变。1设u(p,t)是非单色光，其解析信号为(,)()exp2jtuptAtejt(,)1sgn,exp2dTTuptUpjt0,sgn10,sgn00,sgn1由所决定的时间称为相干时间，而τc称为相干长度。相干时间大体上就是我们可以预言光波在空间某一给定点相位的那段时间间隔。1同时根据惠更斯－菲涅尔原理，可以导出描述非单色波传播的基本关系式20(,)2(,)jtTuptpedUT2011(,)(,)jrTTeppxdsjrUU有10,(,)2TTdruptdtcuptxdscr对上式交换积分次序，然后对时间微商,并令T→∞,就可以得到2000(,)2(,)jtTuptpedUT亦即三、窄带光当T→∞时，考虑到2(1002,(,)TjtrcTpexuptdrdsjU011(,(,))TuptrcuptxdSjr所谓窄带光就是带宽比中心频率小得多的光。2(110(,)2,jtrcTuptrcpedU§2偏振热光和非偏振热光的一阶统计特性一个热光源所发出并通过一个x轴方向检偏器的光，即为x方向的偏振光，实函数ux(p,t)代表在点p和时刻t观察到的电场矢量的x分量，称为偏振热光。绝大部分光源,大量的原子或分子,依靠热、电或其他手段激发到高能态，然后随机地、独立地跃迁到较低的能态，在这个过程中发光。这种由大量独立贡献组成的辐射称为热辐射，所发的光称为热光。一、偏振热光的复振幅统计性质由于热辐射的原子数目通常是大量的，相互独立的,所以具有x偏振的热光源波形ux(p,t)可以看成是大量独立相位复矢贡献之和：根据中心极限定理可以得出结论：一个偏振热光光源的ux(p,t)是一个高斯随机过程。(,)(,)xixuptupt一切原子(,)(,)xixAptApt一切原子复振幅：2(,)(,)jtxxAptupteAx(p,t)为U(p,t)的复包络(或称复振幅)：1(,)iNjxixiAptAeux(p,t)的解析信号为2(,)(,)jtxxuptApteui(p,t)和Ai(p,t)分别是第i个基元辐射体贡献的波动分量的解析信号表示和复包络表示。1(,)(,)Nxixiuptupt在一个特定点p和时刻t上，热光源解析矢量ux(p,t)的复包络Ax(p,t)，是由大量独立的复数相幅矢量构成的。Ax(p,t)的相位模型看成是统计独立的并且在(-π，π)上均匀分布。1cosNiiiRA1sinNiiiIA令合成相位复矢（相幅矢量）的实部和虚部分别为R和I,则,xApt当N→∞时，R、I分别趋向高斯分布，其形式由均值和方差唯一确定。11coscos0NNiiiiiiEREAEAE11sinsin0NNiiiiiiEIEAEAE2221111sinsin2NNNIijijiijiEIEAAEA2221111coscos2NNNRijijiijiEREAAEA11cossin0NNRIijijijCERIEAAAx(p,t)的实部和虚部是独立的、分布完全一样的零均值高斯随机变量。于是Ax(p,t)具有随机相幅矢量和的性质。22221(,)exp22RIripri2222112NRIiiEA其中由于E(R)=E(I)=CRI=0，因此ux(p,t)和Ax(p,t)都是圆型复数高斯随机过程。利用变换22iraritg1＝2222(,)(cos,sin)exp220aRIpaapraiaari其它cossinsincosrraaJaiiaa得行列式222exp0()(,)200Aaaaapapada010()(,)20aappada＝其它——瑞利分布——均匀分布求边缘分布:由于偏振热光的瞬时光强是光场解析信号模的平方，即有关系：22),(),(),(tpAtputpIxxx221()()21exp0220IAAdApIpapadIIII其它即瞬时光强服从负指数分布。二、偏振热光光强的统计性质2()2IEII瞬时光强负指数分布有一个重要性质:标准偏差等于瞬时光强，也等于2倍振幅的方差，即：因此瞬时光强的分布还可以写为：1exp00IIIpIII其它偏振热光瞬时光强服从负指数分布。偏振热光的瞬时强度的概率密度函数IIpIII三、非偏振热光光强的统计性质非偏振热光也称自然光。光的任何两个相互垂直的分量ux(p,t)和uy(p,t)都具有下述性质：(1)对于一切相对时间延迟它们都不相关，两个过程是统计独立的。〈ux(p,t)u*y(p,t)〉恒等于零。(2)ux(p,t)和uy(p,t)都是圆型复数高斯随机过程。光波的瞬时强度：22),(),(),(tputputpIyx22(,)(,)xyAptApt(,)(,)xyIptIpt光波的瞬时解析表述：,,,xyuptuptiuptj2(,)(,)jtxxuptApte2(,)(,)jtyyuptApteIx(p,t)和Iy(p,t)均服从负指数分布——22expxxIxIpIII22expyyIyIpIII1(,)(,)(,)2xyEIptEIptIptIx(p,t)和Iy(p,t)有相等的均值，即非偏振热光光强的概率密度函数——0()xyIIIxIxxpIpIpIIdI02222expexpIyxxIIdIIIII222exp00IIIII其它非偏振热光光强的概率密度函数曲线——IIpIII§3部分偏振热光光强的统计性质任一部分偏振光波的瞬时光强，总可以分成两个互不相关的偏振分量的强度之和。12(,)(,)(,)IptIptIpt两分量的平均强度为：1112IIP2112IIP121210IIII线偏振光自然光P定义：为光的偏振度PI1(p,t)和I2(p,t)的一阶负指数分布和特征函数：111111212expexp11IIIpIIIII=＋PP222222212expexp11IIIpIIIII-=PP1111()1112IMIjIjP2211()1112IMIjIjP由于I1(p,t)和I2(p,t)互相独立，它们和的特征函数可表示为两特征函数的积121211()()()11IIIMMMjIjI对MI(ω)作傅立叶逆变换得部分偏振热光光强的概率密度函数122expexp11IIIpIIIIPPP1212111122IIjjPPPPPP偏振度为的热光的瞬时强度的概率密度函数P部分偏振热光瞬时强度的标准偏差σ：22202dIjMd22222222113122IIIIIIPP2112IIP22332111342II＋PPPP§4激光的一级统计性质激光是由大量原子或分子(激活媒质)一致地作受激辐射而产生的，它的统计性质决定于它的产生机制。激光器首先是一个受噪声驱动的非线性器件，鉴于激光器的多样性，即使是同一激光器，工作在不同区域，其性能也有很大不同，因此，对于激光器产生辐射的讨论，没有统一的模型。一、单模振荡模型tStu02cos)(假设激光为纯粹的线偏振单色光，光场的实值表示为：由于无从知道这个振荡的绝对相位，所以把看做是一个均匀分布在(－π，π)上的随机变量。因此u(t)是一个平稳的、各态历经的随机过程。由于平稳过程的统计性质不随时间变化，只需求t＝0时的统计性质，即可知其它任意时刻的统计性质。1200Eexpcosexpcos1expcosUMjSjSdjSdJS2210UuSPuSu其它则，根据特征函数的定义，可得单模激光的概率密度函数：cossinutSdSdt=0令，则，22ex1pSUSMjSd2220exp2IutSjtS2IpIIS二、位相不恒定而随时间有一随机涨落的激光模型0()cos2utStt0()2ttt令：定义振荡瞬时频率：00()11()22iRddtttdtdtt1()2Rdttdt其中2()tRtd假如，()Rt具有零均值，并为平稳涨落，则有在时间（t,t+τ)内，相位增量的均方值（结构函数）2122211212221221212124()2