高等代数下复习

高代复习大纲2012春题型选择题填空题小计算题大计算题证明题主要内容一．二次型二．线性空间三．线性变换四．-矩阵五．欧几里得空间一．二次型合同变换化标准形正惯性指数、负惯性指数、符号差实二次型、复二次型的合同的等价条件定理：数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.实对称矩阵A、B合同()()AB秩秩BXXAXX''与的正惯性且二次型指数相等.复对称矩阵A、B合同()().AB秩秩一．实二次型正定性定义正定矩阵2)实对称矩阵A正定存在可逆矩阵C，使ACC.正定矩阵是可逆矩阵.A的顺序主子式Pk全大于零.1211(,,,)nnnijijijfxxxaxxXAX正定实二次型例用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2c1+c2123122313(,,)262fxxxxxxxxx112103130100010001011103130100010001AE212103230100110001解：的矩阵为011103130A123(,,)fxxxr3+r1r2－r112c3+c1c2－c112－2r2－2c2200024042111111001122120202210011000112121220002022111100112122000140221111001c3+2c2r3+2r2200024006111111001200020006113111001作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形222123123(,,)226fxxxyyy令113111,001C则200'020,006CAC例、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.f1550,10,0.PA232PP212221231231213231)(,,)55484fxxxxxxxxxxxx解：的矩阵524212425A123(,,)fxxx解：的矩阵12(,,,)nfxxx111221112211122AA的第k阶顺序主子式Pk（习题7）212112)(,,,)nniijiijnfxxxxxx1,2,,.kn正定.f111111221111111222221111112222kkkkP1111111111000()0,222220000kkkkkk21例5、证明：为半正定二次型.（习题15）证法一：对任意一组不全为0的数12,,,nccc,有故，f半正定.21211(,,,)(1)2nniijiijnfxxxnxxx2121(,,,)()0nijijnfccccc221211(,,,)()nnniiiifxxxnxxnjijixx12)(证法二：21111221111111nniiiinninixxxxxxxBBxnx12111nxxBx令,12(,)()()(),gyyYBBYBYBY考虑二次型则则对20000,0,()0,YRYYBBY有2211111det()0.nnnniiiiniiiiiixxBBnxxxn12(,)gyy即半正定..f故半正定二．线性空间线性空间定义基、坐标过渡矩阵扩基定理直和４个等价条件同构定义数域P上的两个有限维线性空间同构12,VV12dimdim.VV例（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn-1为P[x]n的一组基．也为P[x]n的一组基．证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn-1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.011(,,,)naaa其次，1011()[]nnnfxaaxaxPx可经1，x，x2，…，xn-1线性表出．()fx注：在基1，x，x2，…，xn-1下的坐标就是此时，1011()nnfxaaxax（2）1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1是线性无关的．又对()[]nfxPx，按泰勒展开公式有(1)1()()()()()()(1)!nnfafxfafaxaxan即,f(x)可经1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1线性表出.∴1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1为P[x]n的一组基．在基1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n－1下的坐标是(1)()((),(),,)(1)!nfafafan注：此时，1011()nnfxaaxax1234,,,下的坐标，其中1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)解：设11223344xxxx，则有线性方程组12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，12345111,,,4444xxxx．∴ξ在基1234,,,下的坐标为5111(,,,)4444．例5在线性空间中求向量在基4P(1,2,1,1)例1在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n过渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa11212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而，∴1212100110(,,,)(,,,)111nn解：∵11222nnnn12,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为10011011112(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa例2在P4中，求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)解：设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),34(0,0,1,0),(0,0,0,1)则有1234123411112121(,,,)(,,,)11100111或11234123411112121(,,,)(,,,)11100111，1234123420211113(,,,)(,,,)02111222从而有1234(,,,)112341111202121211113(,,,)1110021101111222112341111202121211113(,,,)1110021101111222123410011101(,,,)01110010∴由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵为1001110101110010'4'3'2'1'4'3'2'11A它扩充为P4的一组基，其中例7求的维数与一组基，并把12345(,,,,)L1(1,1,2,4),5(2,1,5,6)4(1,1,2,0),3(3,0,7,14),2(0,3,1,2),解：对以为列向量的矩阵A作12345,,,,初等行变换103121301121725421406A103120330301101022421031201101000000004410312011010001100000B由B知，为的一个极大124,,12345,,,,故，维＝3，12345(,,,,)L就是的一组基.124,,12345(,,,,)L无关组.10101310.21214200可逆101131120,420又(0,0,1,0)令则线性无关，从而为P4的一组基.124,,,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证：证维数相等.证明：2CR首先，可表成1,,xabiabR,xCx其次，若则0.abiab1+=0,=所以，1，i为C的一组基，dim2.C又，2dim2R2dimdim.CR所以，12.VV故，三．线性变换线性变换定义线性变换的矩阵相似矩阵特征值、特征向量可对角化定义哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理定理设为维线性空间V的一个线性变换，n则可对角化有个线性无关的特征向量.n三．线性变换值域与核定义若当标准形例1.设线性空间的线性变换为3P1231212(,,)(,,)xxxxxxx求在标准基下的矩阵.123,,解：3()(0,0,1)(0,0,0)1()(1,0,0)(1,0,1)2()(0,1,0)(0,1,1)123123100(,,)(,,)010110例3.设为线性空间V一组基，线性变换在12,这组基下的矩阵为21,10A为V的另一组基，且12,121211,)(,),12(（1）求在下的矩阵B.12,（2）求.kA1112111121012B解：（1）由定理4，在基下的矩阵12,21211111.11101201（2）由有1,BXAX=1,AXBX=于是1.kkAXBX=1111111120112kkA=111211.1201111kkkkk=122212,221A