极坐标系及简单的极坐标方程习题课

能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化，掌握直线与圆的极坐标方程．(223)2A(4)B(4)3345C(4)D1.(4)33M已知点的直角坐标为，，则其极坐标是．．　，．，．，，22232234tan32D35(2)23.解析，，且，，以，：故选所()A()B()C()2.D(2)MMN已知点，，则点关于极点对称的点的极坐标是．，．，．，．，　A(2)2.3.M在极坐标系中，过点，，且平行于极轴的直线的极坐标方程是　()cos()22si2.nPRtMP如图，设，为直线上任意一点，在中，，即解析：cossin4..极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是11cos(0)2211sin(2)2222.解析：是圆心为，，半径为的圆；是圆心为，，半径为的圆，故两圆的圆心距为24sin35..坐标方程化为直角坐标方程是　2222222224sin34sin34333.ryxyyxyx由知，，即，则解即，析：123__________451()()12MMxy直线上的点的坐标；平面直角坐标系；①系；柱坐标系；球坐标系．极坐标，化为平面．坐标系的类型．坐标之直角坐间化③互标，：②2()cos().sin3()sincos()sinsin.cosPxyzxzyzzPxyzxrryrzr空间点的直角坐标，，与柱坐标，，之间的变换公式为：柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系的一部分建立起来的．空间点的直角坐标，，与球坐标，，之间的变换关系为3．直线与圆的极坐标方程1122 cossintansin()sin202sinxyyxpbxarsinsinxrxyr①极坐标；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；【要点指南】⑨；⑩； 1(5)30(20)________0(24)_________142()23sin_____1___.2APC点，在条件：①，，下的极坐标是；②，，下的极坐标是．点，与曲线：的关系是例．题型一极坐标的基本概念及应用0(5)3(52)()320220()3515(5)23331AkkkkkAZZ①当＞时，点，的极坐标的一般形式为，．由＜＜，得＜＜，解得，所以，所以满足条件的点的极解，坐标为析：．10(5)3(521)()243221413103330(5)3AkpkkkAZ②当＜时，点，的极坐标的一般形式是，．由＜＜，得＜＜，解得，所以，故满足条件的点的极坐，标为解析：．141()()232313sinsin2614()sin2sin22322PPPPCC因为点，与点，是同一点，且，所以点在曲线：上解析：故点，在曲，线：上．00()()MP有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若，则，且点，与，关于评析：极点对称．45(3)(51)36()ABABAOBO已知、两点的极坐标分别为，、，，求和的面积其中点为材：极点素．22245(3)(5)(3)3637(5)356756362cos34153341515.4315sin35sin26AOBABAOBABABOAOBAOBABOAOBOAOBAOBABSAOB在中，因为、两点的坐标分别为，、，，则、两点的坐标可化为，、，，因而、两边长分别为、，夹角，所以，所以，解析：5(0)(223)(23.3)3例将下列直角坐标化为极坐标：①，；②，；③，．题型二极坐标与直角坐标的互化2205(053()324(223)(4)3(33)(23)6)3xyytanxxy利用公式转化．①，为轴负半轴上的解析：可化为，；②，可化为，；③，可化，点，为．222 cossintan(0)xyyxyxx将极坐标化为直角坐标较容易，只要利用，即可；而将直角坐标化为极坐标，它需要同时满足，评析：．23(3)(2)(322.)4将下列极坐标化为直角坐标：①，；②，；③，素材．3232(3)()4222(2)(13)333()(0)22xcosysin解析：①，化为，；②，化为，；③，利用公式转化．化为，．222212020332..xyaxxyxyx将下列直角坐标方程化为极坐标方程：；；例题型三极坐标方程与直角坐标方程的互化2222cos2cos02cos0.012coscossincossin00tan1.3ta2cosn1.43.0()3244xyxaaaxyaR将，代入，得，即或而恒表示解析：故所求极坐标方程为极点，曲线过极点，将，代入，得，即或由，得而表示极点，直线过极点故所求极坐标方程为，()R．2222cossincossin2cos22.20.22023xycoscosccosccoososs将，代入，得，即或而表示极点，过极点解析：故所求极坐标方程为，cossinxy直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代入并化简即可．对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程评析：的检验． 1cossin______________________________________________322sin()42__________.曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程为．轨迹为；已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是素材．22112()222202.21xyxy解析：圆心为，，半径为的圆．应填；应填2cossin()极坐标方程化为直角坐标方程相对困难一点，解决此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．其中，方程两边同乘以或同除以及方程两边平方是常用的变评析：形方法．(20)in()4.03.4121AlmmmPlQOPOPOQQ在极坐标系中，已知点，到直线：的距离为求实数的值；设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什例么图形．题型四极坐标方程的应用(20)20.|22231|12.xAlxymmAldmm以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为，，直线的直角坐标方程为因为到直线的离，所以距解析：m将极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求得的值；极坐标系下的轨迹方程的求解与直角坐标系下的轨迹方程的求解方法类似，此分析：处可用动0000000000221sin()2.411()().()sin()2.41sin()2sin()44221()().881613(24lPQPlQxyQ由得直线的方程为设，，，，则①因为点，在直线上，所以②将①代入②，得，即．这就是解析：因此点点的轨迹方程．化为直角坐标的轨迹是以方为，程1)44为圆心，为半径的圆．直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提．若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断．在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法．在极坐标系中，求曲线的极坐标方程，这几种方法仍然评析：是适用的．121212(30)(3)2.212.4.OPPCPPPPCABAOB在极坐标系中，极点为，已知，，，，曲线：求直线的极坐标方程；记直线与曲线交于、两点，求素材1212s()sin3incos13cos.PPPPP如图所示，设点解析：所以，是直线上任意一点，则，直线的极坐标方程是121()33sinc2os236.2.3262.22PPPOPsincossincosOPOABOAOBABABOBOAAB由知，直线上的点，满足，即，而的最大值为，则的最小值为在等腰中，，底边上的高为则，所以是等边三解析：因此，角形，2   2(cos3sin)5023AB已知圆的极坐标方程为，求直线截圆所备选例题得弦的长度．2122221221(3)9330.(13)30|3329326.|||3321223235025016221616.xyyxxyxydcossin圆的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，即又圆心，到直线的距离为，则弦解析：从而弦长方法：方长为由，解得法，，：为解得，()()(2)()(2)()()(1MkkkkMMZZ极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数对，，可以确定平面上的一点，但是平．极坐标系和极坐标的理解．面内的一点的极坐标，却不是唯一的．一般的，若，是点的极坐标，则，，，也都是点的极坐标．总之，点，的极坐标可以是，2)()0,02()kkZ．当规定＞＜以后，平面内的点除极点外与有序数对就可以一一对应了．22221.0“”()()()0nxyxcosyysintanxxxrnr．极坐标与直角坐标的互化注意事项．极坐标和直角坐标的互化公式是或这两组公式必须满足下面的三个条件才能使用：ⅰ原点与极点重合；ⅱ轴正半轴与极轴重合；ⅲ长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘以时，方程增了一个重解，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．23tan1,1tan11,13(2)4yMx由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标方程给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化．慎用，如点的直角坐标为，化为极坐标时，由不能确定的取值，必须结合所表示的点所在象限的情况确定其极坐标为，．3123rq．极坐标方程的应用及求法．合理建立极坐标系，使所求曲线方程简单．巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出两极坐标、是求极坐标系曲线方程的法宝．11222212121241()()2()()3()()24()()45()()2.PPPPPPPPABABcos．常用结论．极坐标系内点的对称关系：点，关于极点的对称点为，；点，关于极轴所在直线的对称点为，；点，关于直线的对称点为，；点，关于直线的对称点为，；在极坐标下，，，，间的距离(5)3()4A(5)B(5)3325C(5)D(5)33BB已知点的极坐标为，，则下列所给出