动量守恒定律习题课

习题课例1：总质量为M的火车在平直轨道上以速度V匀速行驶，尾部有一节质量为m的车厢突然脱钩，设机车的牵引力恒定不变，阻力与质量成正比，则脱钩车厢停下来时，列车前段的速度多大？瞬时性：脱钩前某一时刻；脱钩车厢停下来的瞬时。方向性：动量方向与速度方向相同相对性：以地面为参照物MV/(M-m)一、动量守恒定律基本应用例2、质量为50kg的小车静止在光滑水平面上，质量为30kg的小孩以4m/s的水平速度跳上小车的尾部，他又继续跑到车头，以2m/s的水平速度（相对于地）跳下，小孩跳下后，小车的速度多大？解：动量守恒定律跟过程的细节无关，对整个过程，以小孩的运动速度为正方向由动量守恒定律mv1=mv2+MVV=m(v1-v2)/M=60/50m/s=1.2m/s小车的速度跟小孩的运动速度方向相同•例3：质量为M的小车上站有一个质量为m的人，它们一起以速度V沿着光滑的水平面匀速运动，某时刻人沿竖直方向跳起。则跳起后，车子的速度为：VmMMD.无法确定。C.A.VVmMm-B.A例4、质量均为M的两船A、B静止在水面上，A船上有一质量为m的人以速度v1跳向B船，又以速度v2跳离B船，再以v3速度跳离A船……，如此往返10次，最后回到A船上，此时A、B两船的速度之比为多少？解：动量守恒定律跟过程的细节无关，对整个过程，由动量守恒定律(M+m)v1+Mv2=0v1／v2=-M／(M+m)例5、一个人坐在光滑的冰面的小车上，人与车的总质量为M=70kg，当他接到一个质量为m=20kg以速度v=5m/s迎面滑来的木箱后，立即以相对于自己u=5m/s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出，求小车获得的速度。v=5m/sM=70kgm=20kgu=5m/s解：整个过程动量守恒，但是速度u为相对于小车的速度，v箱对地=u箱对车+V车对地=u+V规定木箱原来滑行的方向为正方向对整个过程由动量守恒定律，mv=MV+mv箱对地=MV+m(u+V)注意u=-5m/s，代入数字得V=20/9=2.2m/s方向跟木箱原来滑行的方向相同例6、一个质量为M的运动员手里拿着一个质量为m的物体，踏跳后以初速度v0与水平方向成α角向斜上方跳出，当他跳到最高点时将物体以相对于运动员的速度为u水平向后抛出。问：由于物体的抛出，使他跳远的距离增加多少？解：跳到最高点时的水平速度为v0cosα抛出物体相对于地面的速度为v物对地=u物对人+v人对地=-u+v规定向前为正方向，在水平方向，由动量守恒定律(M+m)v0cosα=Mv+m(v–u)v=v0cosα+mu/(M+m)∴Δv=mu/(M+m)平抛的时间t=v0sinα/g增加的距离为gαsinvumMmtvx0例7.有一质量为m＝20千克的物体，以水平速度v＝5米／秒的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为M＝80千克，物体在小车上滑行距离ΔL＝4米后相对小车静止。求：（1）物体与小车间的滑动摩擦系数。（2）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的距离。解：画出运动示意图如图示vmMVmMLS由动量守恒定律（m+M)V=mvV=1m/s由能量守恒定律μmgL=1/2×mv2-1/2×(m+M)V2∴μ=0.25对小车μmgS=1/2×MV2∴S=0.8m例1：两只小船平行逆向行驶，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每只船上各投质量m=50kg的麻袋到对面另一只船上，结果载重较小的一只船停了下来，另一只船则以V=8.5m/s的速度向原方向行驶，设两只船及船上的载重物m1=500kg，m2=1000kg，问：在交换麻袋前两只船的速率各为多少？专题一、多个物体组成的物体系动量守恒例2..如图所示，甲车质量为2kg，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为1kg的小物体。乙车质量为4kg，以5m/s的速度向左运动，与甲车碰撞后甲获得8m/s的速度，物体滑到乙车上，若以车足够长，上表面与物体的摩擦因数为0.2，则物体在乙车上表面滑行多少时间相对乙车静止？(g=10m/s2)甲乙例1：质量为1kg的物体从距地面5m高处由静止自由下落，正落在以5m/s的速度沿光滑水平面匀速行驶的装有沙子的小车中，车与沙子的总质量为4kg。当物体与沙子静止后，小车的速度多大？专题二、系统动量不守恒，但在某一方向上守恒例2.一质量为M=0.5kg的斜面体A,原来静止在光滑水平面上，一质量m=40g的小球B以水平速度V0=30m/s运动到斜面A上，碰撞时间极短，碰撞后变为竖直向上运动，求A碰后的速度。V0V′AB专题三、人船模型（平均动量守恒）例1：静止在水面上的小船长为L，质量为M，在船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力，当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的距离是多大？SL-S1、“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系。即：m1v1=m2v2则：m1s1=m2s22、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的系统动量守恒，系统的合动量为零。例2、如图所示，质量为M的气球上有一质量为m的人,气球和人共同静止在离地面高为h的空中。如果从气球上放下一架不计质量的软梯，以便让人能沿软梯安全地下降到地面，则软梯至少应为多长，才能达到上述目的？例3、一个质量为M,底面边长为a的劈静止在光滑的水平面上，如图，有一可视为质点的质量为m的物块由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少？例4.如图所示，质量为M，半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为m的小滑块从与环心O等高处开始无初速下滑到达最低点时，圆环发生的位移为多少？soRR-s例5.某人在一只静止的小船上练习射击，已知船，人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹飞出枪口时，相对于地面的速度为V．若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力．问：(1)射出第一颗子弹时，船的速度多大?(2)发射第n颗子弹时，船的速度多大?(3)发射完n颗子弹后，船一共能向后移动多少距离?在动量受恒的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相撞和物体开始反向等临界问题。求解这类问题的关键是充分利用反证法、极限法分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程运用动量守恒定律进行解答。专题四、动量受定律应用中的临界问题例1：甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M=30kg，乙和他的冰车总质量也为30kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为V0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面而来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速将它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？V≥5.2m/s乙甲v乙例2.如图所示，甲车的质量m甲=20kg，车上人的质量M=50kg，甲车和人一起从斜坡上高h=0.45m处由静止开始滑下，并沿水平面继续滑行。此时质量为m乙=50kg的乙车以速度v乙=1.8m/s迎面匀速而来。为了避免两车相撞，在适当距离时，甲车上的人必须以一定水平速度跳到乙车上去，不考虑空气阻力和地面与斜坡对小车的摩擦阻力，斜坡足够长，求人跳离甲车时相对地面的速度.(g=10m/s2)1.人和冰车的总质量为M，人坐在静止于光滑水平冰面的冰车上，以相对地的速率v将一质量为m的木球沿冰面推向正前方的竖直固定挡板。设球与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞后球以速率v反弹回来。人接住球后，再以同样的相对于地的速率v将木球沿冰面推向正前方的挡板。已知M：m=31：2，求：（1）人第二次推出球后，冰车和人的速度大小。（2）人推球多少次后不能再接到球？专题五、综合应用解：每次推球时，对冰车、人和木球组成的系统，动量守恒，设人和冰车速度方向为正方向，每次推球后人和冰车的速度分别为v1、v2…，则第一次推球后：Mv1－mv=0⑴第一次接球后：（M＋m）V1′=Mv1+mv⑵第二次推球后：Mv2－mv=（M＋m）V1′⑶三式相加得Mv2=3mv∴v2=3mv/M=6v/31以此类推，第N次推球后，人和冰车的速度vN=(2N－1)mv/M当vN＞v时，不再能接到球，即2N－1＞M/m=31/2N＞8.25∴人推球9次后不能再接到球2.如图，在光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B相距0.1m，长1m的均匀细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细绳拉紧，给小球以2m/s的垂直细绳方向的水平速度使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使绳慢慢缠在AB上。（1）如果细绳不断，小球从开始运动到细绳完全缠在AB上需要多长时间？（2）如果细绳抗断拉力为7N，小球从开始运动到细绳断裂需经历多长时间？3.如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点0两侧的人的序号都记为n(n=1，2，3…)。每人只有一个沙袋，x0一侧的每个沙袋质量为m=14千克，x0一侧的每个沙袋质量为m′=10千克。一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)。(1)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋多少个？3120123x3120123x解：由于小车的速度逐级变化，使得问题越来越复杂。为使问题得到解决我们先用归纳法分析。(1)在x0的一侧：第1人扔袋：Mv0－m·2v0=(M＋m)v1，第2人扔袋：(M＋m)v1－m·2·2v1=(M＋2m)v2，第n人扔袋：[M＋(n－1)m]vn1m·2nvn1=(m+nm)vn，要使车反向,则要Vn0亦即：M＋(n－1)m－2nm0n=2.4，取整数即车上堆积有n=3个沙袋时车将开始反向(向左)滑行。(2)只要小车仍有速度，都将会有人扔沙袋到车上，因此到最后小车速度一定为零，在x0的一侧：经负侧第1人：(M＋3m)v3－m'·2v3=(M＋3m+m')v'，经负侧第2人：(M＋3m＋m')v4－m'·4v4=(M＋3m＋2m')v5'……经负侧第n'人(最后一次)：[M＋3m＋(n'－1)m']vn'1－m'·2n'vn'1=0n'=8故车上最终共有N=n＋n'=3＋8=11(个沙袋)3120123x4.一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有0)(11uVmMV狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足1V11)(VmMmvMV可解得21)()(mMmvmMMmuVkgmkgMsmvsmu10,30,/5,/4将代入，得smV/21（2）解：设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为Vi′，由动量守恒定律可得第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0