随机过程作业题及参考答案(第二章)

随机过程作业题及参考答案（第二章）—1—第二章平稳过程P1032.设随机过程sinXtUt，其中U是在02，上均匀分布的随机变量。试证（1）若tT，而12T，，，则12Xtt，，，是平稳过程；（2）若tT，而0T，，则0Xtt，不是平稳过程。证明：由题意，U的分布密度为：10220ufu，，其它数学期望sinXmtEXtEUt2220001111sinsincoscos212222utduutdututtttt.相关函数sinsinXXRRttEXtXtEUtUt，2200111sinsincos2cos222ututduutuudu2220001111cos2cossin2sin442utuduutut11sin22sin2424tt.（1）若tT，而12T，，时，0Xmt，XR只与有关，二者均与t无关，因此，12Xtt，，，是平稳过程。（2）若tT，而0T，时，Xmt可能取到不是常数的值，所取到的值与t有关，XR取到的值也与t有关，因此，0Xtt，不是平稳过程。随机过程作业题及参考答案（第二章）—2—3.设随机过程0cosXtAt，t其中0是常数，A和是独立随机变量。服从在区间02，中的均匀分布。A服从瑞利分布，其密度为2222000xxexfxx，，又设随机过程00cossinYtBtCt，t其中B与C是相互独立的正态变量，且都具有分布20N，。（1）试证Xt是平稳过程；（2）用本章§1例4说明Yt是平稳过程。证明：（1）由题意知，的分布密度为：10220f，，其它A服从瑞利分布，其密度为2222000xxexfxx，，由题意知，A和是独立的随机变量，数学期望00coscosXmtEXtEAtEAEt222202001cos2xxxedxtd222222002001cos2xxdetdtx随机过程作业题及参考答案（第二章）—3—22220001sin02xxdet.相关函数XXRRttEXtXt，00coscosEAtAt200coscosEAtt200coscosEAEtt22222002001coscos2xxxedxttd2232220020011cos22cos22xxdetdx222220001cos4xxded2222001cos2xxde222222220001cos2xxxeedx222001cos22xxedx222200cosxxdex222200cosxde222200cosxde222200cosxe20cos.Xt的数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，Xt是平稳过程。（2）随机过程00cossinYtBtCt，t，0是常数，B与C是相互独立的正态变量，且都具有分布20N，，随机过程作业题及参考答案（第二章）—4—则数学期望00cossinYmtEYtEBtECt.相关函数YYRRttEYtYt，0000cossincossinEBtCtBtCt220000coscossinsinEBttECtt0000cossinsincosEBCtttt220000coscossinsinEBttECtt20cos.Yt数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，Yt是平稳过程。P1056.设随机过程0cosXtAt，t其中A和是相互独立的随机变量，而在区间02，上均匀分布。试问Xt是否具有各态历经性。解：由题意知，的分布密度为：10220f，，其它数学期望0cosXmtEXtEAt.A和是相互独立的随机变量，20001coscos2XmtEAEtEAtd220000011cossin022EAtdtEAt.相关函数XXRRttEXtXt，随机过程作业题及参考答案（第二章）—5—00coscosEAtAt200coscosEAtt200coscosEAEtt220001coscos2EAttd2200011cos22cos22EAtd22200011coscos42EAdEA.下面计算时间平均和时间相关函数：时间平均01l.i.mcos2TTTXtAtdtT00l.i.mcoscossinsin2TTTAttdtT00l.i.mcoscossinsin2TTTTTAtdttdtT000011l.i.mcossinsincos2TTTTTAttT001l.i.mcos2sin2TATT00cossinl.i.m0TATT.时间相关函数200l.i.mcoscos2TTTAXtXtttdtT20001l.i.mcos22cos22TTTAtdtT20l.i.mcos24TATT20l.i.mcos2TA20cos2A.因此，XXtm，XXtXtR，故随机过程Xt具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。随机过程作业题及参考答案（第二章）—6—7.随机过程sincosXtAtBt，t其中A和B是均值为零不相关的随机变量，且22EAEB。试证Xt具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。证明：由题意知，0EAEB，A和B不相关，22EAEB.数学期望sincossincos0XmtEXtEAtBtEAtEBt.相关函数XXRRttEXtXt，sincossincosEAtBtAtBt22sinsincoscossincoscossinEAttEBttEABtttt2cosEA.下面计算时间平均和时间相关函数：时间平均1l.i.msincos2TTTXtAtBtdtT1l.i.mcossin2TTTTTAtBtTsinl.i.m0TBTT.时间相关函数1l.i.msincossincos2TTTXtXtAtBtAtBtdtT21l.i.msinsinsincoscossin2TTTTTAttdtABttttdtT2coscosTTBttdt211l.i.mcos2cossin222TTTTTAtdtABtdtT21cos2cos2TTBtdt211l.i.mcos2coscos2222TTTTTTTAtdtdtABtT随机过程作业题及参考答案（第二章）—7—2cos2cos2TTTTBtdtdt22221l.i.mcos2cos2sin2sin4TTTTTABtdtABdtABTT22221l.i.msin22cos2sin2sin42TTTABtABTABTT22221l.i.msin2sin22cos2sin2sin42TABTTTABABTT22221l.i.msin2sin22cos2sin2sin42TABTTTABABTT22221l.i.msin2cos2cos2sin2sin4TBATTABABTT221cos2AB.XXtm，XXtXtR，Xt具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。8.设平稳过程，Xtt的相关函数为1aXRAea，其中A、a都是正常数；而0EXt。试问Xt对数学期望是否有各态历经性？解：已知Xt是平稳过程，0XmEXt.21limlim1lim0aXXaAaRAeame，由P61定理1的推论，Xt对数学期望具有各态历经性。【附】《随机过程》P61定理1的推论：若平稳过程Xt满足条件2limXXRm，即lim0XC，则XXtm，a.s.。001110122211，；，，xFxPXxxx