第五章机械波

5-2波动方程y=Acos［(uxt)+0］中的ux表示什么?如果改写为y=Acos(0uxt)，ux又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［(uxt)+0］的值不变，由此能从波动方程说明什么?解:波动方程中的ux/表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；ux则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为)cos(0uxtAyt则tt时刻的波动方程为])()(cos[0uxxttAytt其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过t后传播到tux处．所以在)(uxt中，当t，x均增加时，)(uxt的值不会变化，而这正好说明了经过时间t，波形即向前传播了tux的距离，说明)cos(0uxtAy描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5-3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解:我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(txfy，则相对形变量(即应变量)为xy/.波动势能则是与xy/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/xy)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处?t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻?波动方程写成y=Acos(uxt)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解:由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0t的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cosuxtAy时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．5-5在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?解:取驻波方程为vtxAycos2cos2，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为xA2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解:波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(/u)会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即Bvuu，因而单位时间内通过观察者完整波的数目u也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．题5-6图多普勒效应5-7一平面简谐波沿x轴负向传播，波长=1.0m，原点处质点的振动频率为=2.0Hz，振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程．解:由题知0t时原点处质点的振动状态为0,000vy，故知原点的振动初相为2,取波动方程为])(2cos[0xTtAy则有]2)12(2cos[1.0xty)224cos(1.0xtm5-8已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(CxBt)，其中A，B，C为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差．解:(1)已知平面简谐波的波动方程)cos(CxBtAy(0x)将上式与波动方程的标准形式)22cos(xtAy比较，可知：波振幅为A，频率2B，波长C2，波速CBu，波动周期BT21．(2)将lx代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(ClBtAy(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为)(212xx将dxx12，及C2代入上式，即得Cd．5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10xt4)，式中x,y以米计，t以秒计．求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x=0.2mt=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?解:(1)将题给方程与标准式)22cos(xtAy相比，得振幅05.0Am，频率51s，波长5.0m，波速5.2u1sm．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为5.005.010maxAv1sm222max505.0)10(Aa2sm(3)2.0xm处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0uxs故2.0xm,1ts时的位相就是原点(0x)，在92.008.010ts时的位相，即2.9π．设这一位相所代表的运动状态在25.1ts时刻到达x点，则825.0)0.125.1(5.22.0)(11ttuxxm5-10如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动位相又是多少?解:(1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有题5-10图对于O点：∵0,0OOvy，∴2O对于A点：∵0,AAvAy，∴0A对于B点：∵0,0BBvy，∴2B对于C点：∵0,0CCvy，∴23C(取负值：表示CBA、、点位相，应落后于O点的位相)(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有对于O点：∵0,0OOvy，∴2O对于A点：∵0,AAvAy，∴0A对于B点：∵0,0BBvy，∴2B对于C点：∵0,0CCvy，∴23C(此处取正值表示CBA、、点位相超前于O点的位相)5-11一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s-1，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示．(1)写出波动方程；(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．解:(1)由题5-11(a)图知，1.0Am，且0t时，0,000vy，∴230，又5.225uHz，则52题5-11图(a)取])(cos[0uxtAy，则波动方程为)]235(5cos[1.0xtym(2)0t时的波形如题5-11(b)图题5-11图(b)题5-11图(c)将5.0xm代入波动方程，得该点处的振动方程为)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0ttym如题5-11(c)图所示．5-12如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P点的振动方程．解:(1)由题5-12图可知，1.0Am，4m，又，0t时，0,000vy，∴20，而25.01txu1sm，5.042uHz，∴2故波动方程为]2)2(cos[1.0xtym(2)将1Pxm代入上式，即得P点振动方程为ttycos1.0)]22cos[(1.0m题5-12图5-13一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10m·s-1，波长为2m，求：(1)波动方程；(2)P点的振动方程及振动曲线；(3)P点的坐标；(4)P点回到平衡位置所需的最短时间．解:由题5-13图可知1.0Am，0t时，0,200vAy，∴30，由题知2m，10u1sm，则5210uHz∴102(1)波动方程为]3)10(10cos[.01xtym题5-13图(2)由图知，0t时，0,2PPvAy，∴34P(P点的位相应落后于0点，故取负值)∴P点振动方程为)3410cos(1.0typ(3)∵34|3)10(100txt∴解得67.135xm(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角题5-13图(a)6523∴所属最短时间为121106/5ts5-14如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为Py=Acos(0t)．(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；(2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程．解:(1)如题5-14图(a)，则波动方程为])(cos[0uxultAy如图(b)，则波动方程为题5-14图])(cos[0uxtAy(2)如题5-14图(a)，则Q点的振动方程为])(cos[0ubtAAQ如题5-14图(b)，则Q点的振动方程为])(cos[0ubtAAQ5-15已知平面简谐波的波动方程为)24(cosxtAy(SI)．(1)写出t=4.2s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出t=4.2s时的波形曲线．解:(1)波峰位置坐标应满足kxt2)24(解得)4.8(kxm(,2,1,0k…)所以离原点最近的波峰位置为4.0m．∵uxttt24故知2u1sm,∴2.024.0ts，这就是说该波峰在2.0s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是42.02.4s，即该波峰是在4s时通过原点的．题5-15图(2)∵2,4u1sm，∴12uuTm，又0x处，2.4ts时，8.1642.40AAy8.02.44cos0又，当Ay时，17x，则应有1728.16x解得1.0xm，故2.4ts时的波形图如题5-15图所示5-16题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．解:由题5-16(b)图所示振动曲线可知2Ts,2.0Am，且0t时，0,000vy，故知20,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，且4m，若取])(2cos[0xTtAy题5-16图则波动方程为]2)42(2cos[2.0xty5-17一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管