函数的图象变换

函数的图象变换—平移、对称、伸缩1函数的图象变换一．函数图象的基本变换前言：函数图象是对函数性质的直观体现，函数图象来源于函数的性质（即对基本函数只有了解了其性质如：定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性、最值、极值、间断点（和间断点处的极限）、拐点等，才能利用描点法作出函数的图象。或利用基本函数的图象通过图象的基本变换（分段、平移、对称、伸缩）作出未知函数的图象，从而直观的反映函数的性质。函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。由函数y=f(x)可得到如下函数的图象1．平移：(1)y=f(x+m)(m0)：把函数y=f(x)的图象向左平移m的单位（如m0则向右平移m个单位）。(2)y=f(x)+m(m0)：把函数y=f(x)的图象向上平移m的单位（如m0则向下平移m个单位）。2．对称：关于直线对称(Ⅰ)(1)函数y=f(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称。(2)函数y=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称。(3)函数y=f(2ax)与y=f(x)的图象关于直线x=a对称。(4)函数y=2bf(x)与y=f(x)的图象关于直线y=b对称。(5)函数)x(fy1与y=f(x)的图象关于直线y=x对称。(6)函数)x(fy1与y=f(x)的图象关于直线y=x对称。(Ⅱ)(7)函数y=f(|x|)的图象则是将y=f(x)的y轴右侧的图象保留，并将y=f(x)右侧的图象沿y轴翻折至左侧。（实际上y=f(|x|)是偶函数）(8)函数y=|f(x)|的图象则是将y=f(x)在x轴上侧的图象保留，并将y=f(x)在x轴下侧的图象沿x轴翻折至上侧。一般地：函数y=f(a+mx)与y=f(bmx)的图象关于直线m2abx对称。思考：函数y=f(4+2x)与y=f(22x)的图象关系?关于点对称(1)函数y=f(x)与y=f(x)的图象关于原点对称。(2)函数y=2bf(2ax)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。3．伸缩(1)函数y=f(mx)(m0)的图象可将y=f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m1倍得到。（如果0m1，实际上是将f(x)的图象伸展）(2)函数y=mf(x)(m0)的图象可将y=f(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的m1倍得到。（如果0m1，实际上是将f(x)的图象伸展）二．函数图象的对称性（有关函数图象本身的对称性）函数的图象变换—平移、对称、伸缩2(1)如函数y=f(x)对定义域中的任意x的值，都满足f(x)=f(2ax)（或者f(ax)=f(a+x)等），则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。(2)如函数y=f(x)对定义域中的任意x的值，都满足f(x)=2bf(2ax)（或者f(ax)=2bf(a+x)等），则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。一般地：如函数y=f(x)对定义域中的任意x的值，都满足f(a+mx)=f(bmx)，则函数y=f(x)的图象关于直线2bax对称。思考：如函数y=f(x)对定义域中的任意x的值，都满足f(4+2x)=f(2+2x)，则函数y=f(x)具有何种性质。三．练习作出下列函数的图象（草图）1xxy)15(x|x|xy)14()1x(1xy)13(1|x|2xy)12(1|x|xy)11(1x1xy)10(1|x|1xy)9(|x|1y)8(|)x1lg(|y)7(|1x|lgy)6()31(y)5()41(y)4(11yx)3(1xy)2(1x1y)1(2222221|x||1x|四．选择题1．把函数3xy的反函数的图象向右平移2个单位，再作以原点为中心的对称图形，则新图形的函数表达式是------------------------------------------------------------------（）33332xy)D(2xy)C(2xy)B(2xy)A(2．奇函数)x(fy),x(fy)Rx()x(fy11则必在有反函数的图象上的点是（）))a(f,a)(D())a(f,a)(C()a),a(f)(B()a),a(f)(A(113．设),0(xy}3,2,1,21,31,21,1,2{为偶函数，且在，已知幂函数上递减，则满足条件的值有--------------------------------------------------------------------------（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4．定义在R上的函数y=f(x1)是单调递减函数（如图）给出四个结论：0)21(f)4(0)1(f)3(1)1(f)2(1)0(f)1(11其中正确结论的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)45．设偶函数)2b(f)1a(f)0,(|bx|log)x(fa与上递增，则在的大小关系是xyO11函数的图象变换—平移、对称、伸缩3--------------------------------------------------------------------------------------------------（）(A)f(a+1)=f(b+2)(B)f(a+1)f(b+2)(C)f(a+1)f(b+2)(D)不能确定6．若0)1x(f1x)x(f),0[x)x(f，则时，是偶函数，且当的解集是（）}2x1|x){D(}2x0|x){C(}2x10x|x){B(}0x1|x){A(或）（的大小关系是是增函数，则时，且当满足．设)4(logfc),f(0.9b),1.1(fa)x(f2x)x4(f)x(f)x(f7211.19.0(A)abc(B)bac(C)acb(D)cba8．如果不等式,a2|nm|}nxm|x{)0a(xax，且的解集为则a的值等于(A)1(B)2(C)3(D)49．已知f(x)=(xa)(xb)2，并且、是方程f(x)=0的两根，则实数a、b、、的大小关系可能是----------------------------------------------------------------------------（）(A)ab(B)ab(C)ab(D)ab10．不等式的取值范围是，则的解集是a]0,4[a1x34x4x2-------（）)0,)(D(),35[]5,)(C(),35)[B(]5,)(A(11．设函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x=3对称，则g(x)的表达式为---（）)x6(f)x(g)D()x3(f)x(g)C()x3(f)x(g)B()x23(f)x(g)A(12．函数f(ax)与f(xb)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为-------------（）bax)D(bax)C(2bax)B(2bax)A(13．若方程mxx42只有一解，则实数m的取值范围是-------------------（）]22,2)[D(}22{)2,2)[C(]22,2)[B()2,2)[A(14．若函数y=f(x)与y=g(x)的定义域都是全体实数，且它们的图象关于直线x=a（常数a≠0）对称，则下面等式一定成立的是---------------------------------------（）(A)f(a)g(a)=0(B)f(a)+g(a)=0(C)f(a)=g(a)(D)f(a)=g(a)15．若函数)2(f)2(f)t1(f)t1(fRt)ax()x(f3，则，总有对于任意的的值是--------------------------------------------------------------------------------------（）(A)0(B)26(C)26(D)28）（等于则其中如果．设二次函数--------------------------------------------)xx(f),xx()x(f)x(f),0a(cbxax)x(f162121212函数的图象变换—平移、对称、伸缩4a4bac4)D(c)C(ab)B(a2b)A(217．已知0a1，则方程|xlog|aa|x|的实根的个数是----------------------------（）(A)1(B)2(C)3(D)4)(---)x(F)x(f)x(F)x(g)x(f)x(g)x(F)x(g)x(f)x(Fx2x)x(g|x|23f(x)182，那么时，；当时，当，定义如下：，构造函数，．已知函数。无最大值，也无最小值，无最小值；有最大值，无最小值；有最大值；，最小值有最大值)D(3)C(727)B(13)A(）（的解析式是时，，则当时，恒成立，当上的偶函数，且是定义在．设-------------------------f(x)2,0][xxf(x)]3,2[x)21x(f)23x(fR)x(f19(A)f(x)=|x+4|(B)f(x)=|2x|(C)f(x)=3|x+1|(D)f(x)=2+|x+1）（的值为的，则使时，当上的奇函数，且满足是定义在．已知函数------------------------------x21)x(fx21f(x),1x0f(x)2)f(xRf(x)20)Zn(1n4)D()Zn(1n4)C()Zn(1n2)B()Zn(n2)A(21．已知函数)Rb,a(1bbaxx)x(f22对任意实数x都有f(1x)=f(1+x)成立，若当x[1,1]时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是-------------------（）(A)1b0(B)b2(C)b1或b2(D)b122．函数)1(x1x2x2xy2的图象的最低点的坐标是-------------------------（）(A)(1,2)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)不存在五．填空题1．函数|ax2|log)x(f3的图象的对称轴方程为x=2，则常数a=。2．设f(x)为偶函数，对于任意,4)1(f),x2(f2)x2(fRx已知都有那么f(3)=。3．函数y=x+b的反函数图象与原函数图象重合，试再构造一个非一次函数的函数，使它的反函数图象与原函数图象重合。4．设函数f(x)的定义域为R，则下列命题中：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称；②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称；③若f(x2)=f(2x)，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称；④y=f(x2)和y=f(2x)的图象关于x=2对称。其中正确命题的序号是。5．若关于x的方程)axlg(x12有正数解，则实数a的取值范围是。函数的图象变换—平移、对称、伸缩52a0)D(1a0)C(0a1)B(0a2)A(