最优化多目标规划动态规划

第五章多目标规划在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个。例如：设计一个导弹，既要射程远，命中率高，还要耗燃料少；又如：选择新厂址，除了要考虑运费、造价、燃料供应费等经济指标外，还要考虑对环境的污染等社会因素。这类问题即为多目标数学规划问题。第五章多目标规划早在1772年，Franklin就提出了多目标问题矛盾如何协调的问题，1896年，Pareto首次从数学角度提出了多目标最优决策问题，直到二十世纪50-70年代Charnes,Karlin,Zadeh等人先后做了许多较有影响的工作，多目标规划受到人们的关注。至今多目标规划已广泛应用于经济、管理、系统工程等科技的各个领域。§1多目标规划问题举例例1生产计划问题某工厂计划生产两种产品甲和乙，生产每件甲的利润为4元，生产每件乙的利润为3元，每件甲的加工时间为每件乙的两倍，若全部时间用来加工乙，则每日可生产乙500件，但工厂每日供给的原料只够生产甲和乙的总数共400件，产品甲是紧俏商品，预测市场日需求量为300件。决策者希望制定一个日生产方案，不仅能得到最大的利润，且能最大地满足市场需求。生产计划问题[问题分析]设每日生产甲、乙的数量分别为x1,x2,令X=(x1,x2),则其目标函数为利润f1(X)=4x1+3x2甲的产量f2(X)=x1都取最大值满足约束条件x1+x2≤400（原料供应约束）2x1+x2≤500（加工时间约束）x1≥0，x2≥0多目标规划问题举例例2投资问题假设在一段时间内有a（亿元）的资金可用于建厂投资，若可供选择的项目记为1,2,…,m,而且一旦对第i个项目投资，则必须用掉ai（亿元）;而在这段时间内这第个项目可得到的收益为ci（亿元）,其中i=1,2,…,m,问如何确定最佳的投资方案？投资问题[问题分析]上述要求的最佳方案应为：投资少，收益大。mixxaxaxcxxxfxaxxxfiixiimiiimiiimmiiimi,...,2,1,0)1(,),...,,(,),...,,(01112121211且要满足下列约束条件取最大而最小问题即求个项目不投资若对第个项目投资若决定对第设多目标规划的标准形式V-minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fp(X))Ts.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,m其中X=(x1,x2,…,xn)T,p≥2这里V-min是指对向量形式的p个目标(f1(X),f2(X),…,fp(X))T求最小。一般假设多目标规划中的目标函数已经是规范化了的。§2多目标规划解的概念与性质1.多目标规划解的概念例3[解]分别对单个目标求出其最优解，对于第一个目标的最优解x(1)=1;第二个目标的最优解x(2)=1,为同一点，取x*=1作为多目标问题的最优解，其目标函数值F*(x)=(-2,-1).可以用变量空间和目标函数空间来分别描述各种解的情况。RxxFVRxxxxxfxxxf)(min],2,0[213210)(,42)(221求设多目标规划解的概念下面考察例1中生产计划问题。问：是否能找到一个可行解X*=(x1*,x2*)T使之同时为f1(X)与f2(X)的最大解？在可行域内容易求解maxf1(X)的唯一最优解为(100,300),见图中B点。maxf2(X)的唯一最优解为(250,0),见图中C点。由此可得共同的最优解X*并不存在。当一目标达到最优时，另一目标达不到最优，两目标相互矛盾。因此需要根据别的原则，权衡两者之间的得失，从R中找出满意的方案来。多目标规划解的概念如何比较方案的好坏呢？就上述问题，设X∈R，Y∈R，称X比Y好（或Y比X劣），若f1(X)f1(Y)f2(X)≥f2(Y)或f1(X)≥f1(Y)f2(X)f2(Y)不难得到除线段BC之外的其余R上的点均为劣解，而BC上无劣解，且两两无法比较，因此决策者只有根据某些别的考虑从BC上挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为非劣解，或有效解。多目标规划解的概念对于一般的多目标规划问题：(VP)V-minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fp(X))Ts.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,m其中X=(x1,x2,…,xn)T,p≥2设R={X|gi(X)≤0,i=1,2,…,m}定义1设X*∈R，若对任意j=1,2,…,p,以及任意X∈R均有fj(X)≥fj(X*),j=1,2,…,p则称X*为问题(VP)的绝对最优解。最优解的全体记为Rab*多目标规划解的概念对于无绝对最优解的情况，引进下面的偏好关系：设F1=(f11,f21,…,fp1)T,F2=(f12,f22,…,fp2)T(1)F1F2意味着F1每个分量都严格小于F2的相应分量，即fj1fj2,j=1,2,…,p(2)F1≤F2等价于fj1≤fj2,j=1,2,…,p，且至少存在某个j0(1≤j0≤p),使fj01fj02(3)F1≦F2等价于fj1≤fj2,j=1,2,…,p多目标规划解的概念定义2设X*∈R，若不存在X∈R满足F(X)≤F(X*),则称X*为问题(VP)的有效解（或Pareto解）。有效解的全体记为Rpa*定义3设X*∈R，若不存在X∈R满足F(X)F(X*),则称X*为问题(VP)的弱有效解（或弱Pareto解）。弱有效解的全体记为Rwp*多目标规划解的性质记Rj*为单目标问题(Pj)minfj(X)s.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,m的最优解集合，j=1,2,…,p，可见而R，Rab*，Rpa*，Rwp*，R1*,…,Rp*之间的关系有下列图示。并有下列定理。*1*jpjabRR多目标规划解的性质******321paabwpjwppaRRRRRRR定理定理定理多目标规划解的性质定义4如果f1(X),f2(X),…,fp(X)和g1(X),g2(X),…,gm(X)均为凸函数，则称多目标数学规划（VP）为凸多目标数学规划。一般来说，即使（VP）为凸多目标数学规划，Rwp*和Rpa*也不一定为凸集。多目标规划解的性质2.多目标规划问题的像集在（VP）中，取定一可行解X0∈R，可得到其相应的目标函数值F(X0)=(f1(X0),…,fp(X0))T此为EP空间中的一个点，从而确定了从X到F(X)的一个映射，即FX——→F(X)集合F(R)={F(X)|X∈R}称为约束集合R在映射F之下的像集。多目标规划解的性质一般来说，即使（VP）是凸多目标规划，像集F(R)也不一定为凸集（见例3）。但是，当目标函数f1(X),f2(X),…,fp(X)为线性函数，约束集合R为凸多面体时，可以证明：像集F(R)为EP中的凸多面体。多目标规划解的性质对于像集F(R)，还可以定义有效点及弱有效点。定义5设F*∈F(R)，若不存在F∈F(R)，满足F≤F*则称F*为像集F(R)的有效点，有效点的全体记为Epa*.定义6设F*∈F(R)，若不存在F∈F(R)，满足FF*则称F*为像集F(R)的弱有效点，弱有效点的全体记为Ewp*.多目标规划解的性质类似地可证明：像集F(R)的有效点一定是弱有效点，即通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱有效点），就可以确定约束集合R上的有效解（或弱有效解）。对此，有如下的定理。**wppaEE多目标规划解的性质定理4在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约束集合R上，有定理5在像集F(R)上，若Ewp*已知，则在约束集合R上，有另外通过对像集的研究，可以更直观地认识问题，并且可以提供一些处理多目标规划的方法。}),(|{**RXXFFXRpaEFpa}),(|{**RXXFFXRwpEFwp§3处理多目标规划的一些方法在§2中，注意到，要使多目标规划（VP）中所有子目标同时实现最优经常是不可解的，那么如何制定比较标准在（弱）有效解集中找到满意解呢？处理多目标规划的一些方法3.1约束法（主要目标法）在目标函数f1(X),f2(X),…,fp(X)中，选出其中的一个作为主要目标，如f1(X),而其它的目标f2(X),…,fp(X)只要满足一定的条件即可。处理多目标规划的一些方法如fj(X)≤fj0,j=2,…,p，pjfXfmiXgXfmiXgXRXffjjiijRXj,...,2,)(,...,2,1,0)()(min:},...,2,1,0)(|{)(min010单目标规划问题划问题化为下面的于是可以把原来的多规这里处理多目标规划的一些方法3.2分层序列法把（VP）中的p个目标f1(X),f2(X),…,fp(X)按其重要性排一个次序；分为最重要目标、次要目标等等。不妨设p个目标责任制的重要性序列为f1(X),f2(X),…,fp(X)首先求第一个目标f1(X)的最优解(P1)minf1(X)X∈R设其最优值为f1*，再求第二个目标的最优解处理多目标规划的一些方法(P2)minf2(X)X∈R1其中R1=R∩{X|f1(X)≤f1*}其最优值为f2*，然后求第三个目标的最优解(P3)minf3(X)X∈R2其中R2=R1∩{X|f2(X)≤f2*}求得最优值为f3*,…，最后求第p个目标的最优解(Pp)minfp(X)X∈Rp-1其中Rp-1=Rp-2∩{X|fp-1(X)≤fp-1*}处理多目标规划的一些方法此时求得最优解X*，最优值为fp*，则X*就是多目标问题(VP)在分层序列意义下的最优解。进一步有下列定理。定理6设X*是由分层序列法所得到的最优解，则X*∈Rpa*.处理多目标规划的一些方法[证明]用反证法证明。假设X*不∈Rpa*，则必存在Y∈R，使F(Y)≤F(X*)下面分两种情形讨论：(1)若f1(Y)f1(X*),而f1(X*)=f1*,故得(P1)的可行解Y满足f1(Y)f1(X*)=f1*此与f1*=minf1(X)相矛盾。X∈R处理多目标规划的一些方法(2)若fj(Y)=fj(X*),j=1,2,…,j0-1但fj0(Y)fj0(X*)2≤j0≤p此时必有fj(Y)=fj(X*)≤fj*,j=1,2,…,j0-1因此，Y是问题(Pj0)minfp(X)X∈Rj0-2∩{X|fj0-1(X)≤fj0-1*}的可行解，又由fj0(Y)fj0(X*)≤fj0*此与fj0*是问题(Pj0)的最优值相矛盾。综合(1)(2),定理得证。处理多目标规划的一些方法3.3评价函数法直接求解多目标规划问题是比较困难的，有一类方法是通过构造一个评价函数（或效用函数）U(F(X))将多目标规划问题(VP)转化为单目标规划问题minU(F(X))X∈R然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP)的最优解。由于构造评价函数的多种多样，也就出现了多种不同的评价函数方法。处理多目标规划的一些方法1.线性加权和法对(VP)中的p个目标f1(X),f2(X),…,fp(X)按其重要程度给以适当的权系数λj≥0(j=1,2,…,p),且∑λj=1，然后构造评价函数目标函数是一种和的形式，这里要求所有应具有相同量纲，若量纲不同，必须进行统一量纲或无量纲化处理。pjjjXfXFU1)())((处理多目标规划的一些方法问题的难点是如何确定合理的权系数。(1)“老手法”(2)α-方法处理多目标规划的一些方法2.平方和加权法对单目标规划问题(Pj)minfj(X)j=1,2,…,pX∈R求出一个尽可能好的下界f10,…,fp0（可看成是规定值），minfj(X)≥fj0j=1,2,…,pX∈R处理多目标规划的一些方法构造评价函数然后求minU(F(X))X∈R求得最优解X*作为多目标规划的解。pjfXfXFUjpjjpjpjjj,...,2,1,0,,1,...,))(())((11201数它们满足为事先给定的一组权系其中处理多目标规划的一些方法3.理想点法（虚拟点法）先求p个单目标规划