三角函数图像的综合运用

三角函数的图象与性质一、基础知识：1．三角函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)上增，在[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)上减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z上增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减在定义域的每一个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)内是增函数2.正弦函数y＝sinx当x＝2kπ＋π2(k∈Z)，取最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，取最小值－1.3余弦函数y＝cosx当x＝2kπ(k∈Z)时，取最大值1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取最小值－1.4．y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的对称中心分别为(kπ，0)(k∈Z)、kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z).5．y＝sinx、y＝cosx的对称轴分别为x＝kπ＋π2(k∈Z)和_x＝kπ(k∈Z)，y＝tanx没有对称轴．二、综合运用：1、五点法绘y＝Asin(ωx＋φ)或y=A＋的图像：依据：以＝(＋)为例；＝0，＝1，＝，＝－1，＝0在实际画图中，要分别令＋＝0、、、、，再求出x与y的值，确定对应的五点坐标。例：“五点法”绘出y=2图像。例：“五点法”绘出y=√（）的图像，其中x图像。注：正切函数的图像采用三点两线的办法。2、解有关三角函数的方程。思路：在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的x的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的x.例1：-例2：=-例3：2（）=1例4：︱（）︱=√例5︱（）︱=√注：在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。例：分析方程-=0的解的个数。（2个）例：分析方程x-=0的解的个数。（1个）提示：利用三角函数线的性质，α时，ααtanα。例设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1－a21－a2≠32.即－2a－3或－3a2.(2)由图知：当－3a2，即－a2∈(－1，32)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2a－3，即－a2∈(32，1)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π.3、解有关三角函数的不等式。思路：在原始函数的一个周期内，标出有效范围（符合不等式条件的图像），再利用整体替代法求出x的范围。例1：例2：（）例3：√例4：（）√注：在求解三角函数的不等式中，若有效图像为2段，可以通过平移的办法把2段图像合并为一段，而端点的横坐标遵循右移+2左移的法则。例：求函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域．则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2(k∈Z)，得0x≤4，kπ≤xkπ＋π2(k∈Z).所以函数的定义域为x|0xπ2或π≤x≤4.例：函数y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定义域为__π3＋2kπ，5π6＋2kπ．1－2cosx≥02sinx－10⇒cosx≤12sinx12得π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Zπ6＋2kπx5π6＋2kπ，k∈Z，x∈π3＋2kπ，5π6＋2kπ4、求有关三角函数的值域。①“纯”三角函数：求出有效角度的取值范围，并画出有效图像，确定最高点和最低点，它们的纵坐标分别为函数的最大值和最小值。例：y=,其中,分析值域。例：y=（）,其中≤≤,分析值域。例：y=,其中≤≤,分析值域。②结合一次函数、二次函数、分式函数求值域。例：y=2+1,≤≤,分析值域。例：y=a+b,值域为[－，，求a和b.{a=,b=或a=,b=}例：函数F(x)=-2a+2a+b,当xϵ时，F(x)ϵ[－5，1]，求a和b。{a=2,b=-5或a=-2,b=1}例:已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．解∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，∴－32≤sin(2x－π3)≤1，若a0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123；若a0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，解得a＝－12＋63b＝19－123.综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.例求下列函数的值域：(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；(2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.解(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12，cosx∈[－1,1]．当cosx＝1时，ymax＝4，当cosx＝－12时，ymin＝－12，故函数值域为[－12，4](2)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.∴y＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝12＋2.∴函数值域为[－1，12＋2]．例：求y=sinx+sinx−的值域。例：求y=sinx2+sinx的值域。5、有关三角函数的奇偶性研究：依据：（）=-,,故y=为奇函数，y=为偶函数。推广：y=Aω为奇函数，y=Aω为偶函数。注：（1）若f(x)=Aω+φ或g(x)=Aωφ为奇函数，由于三角函数图像的特殊性，则图像过原点。例：已知f(x)=2（φ）为奇函数，则φ＝k+（2）若f(x)=Aω+φ或g(x)=Aωφ为偶函数，则图像与Y轴的交点为最高点或者最低点，这样才能保证图像关于Y轴对称，即x=0时，ω+φ＝±1或ωφ＝±1。例：f(x)=2（φ）为偶函数，则φ＝k+例：f(x)=lg（1）lg（1）的奇偶性。[偶函数]例：f(x)=a+b+7,若f(3)=8,则f(-3)=66、三角函数图像平移、伸缩及对称与翻折：一、图像概念：当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T_叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．二.图象变换基本法则：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：（1）相位变换[左右平移]：y＝sinxy＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向左(φ0)或向右(φ0)平行移动|φ|个单位．（2）周期变换[伸缩变化]：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标伸长(0ω1)或缩短(ω1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)．例：说明y=2π+5是由y=的图像经过怎样的变化得到的。例：说明y=的图像经过怎样的变化可以得到y=的图像？例：．(2011·池州月考)要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin2x的图象(B)A．向左平移π8个单位B．向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位例：．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是(D)A.π2B.3π8C.π4D.π8例：已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(A)A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度（3）、图像的对称与翻折：①y=x相同时，y互为相反数，故两函数图像关于X轴对称⇔y=－y=沿X轴上下翻转⇒y=－结论：y=Aω沿X轴上下翻转⇒y=Aω或者y=Aω沿X轴上下翻转⇒y=－Aω②y=Y相同时，X互为相反数，故两函数图像关于Y轴对称⇔y=（）y=沿Y轴左右翻转⇒y=（）结论：y=A（ωφ）沿Y轴左右翻转⇒y=A（ωφ）或者y=A（ωφ）沿Y轴左右翻转⇒y=A（ωφ）③y=X轴上方图像不变，下方翻至上方⇒y=｜｜结论：y=A（ωφ）X轴上方图像不变，下方翻至上方⇒y=｜A（ωφ）｜④y=Y轴右方图像不变，左方图像由右方图像对称得到⇒y=｜｜注：含绝对值符号的三角函数，可以用分段函数的意义进行分析。7、三角函数单调性的研究：思路：以y=和y=的单调区间为依据，使用整体替代的思路，求出x的取值范围，在实际应用中，要注意负号和绝对值符号对单调区间的影响。主要体现在负号可能使得单调区间的相互调换，而绝对值符号影响了原始函数和周期。例：求函数的y＝sin2x－π4的单调区间。例：求函数y＝2sinπ4－x的单调区间．例：求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；例：求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．例：求函数y=|sin2x－π4|单调递增区间。8、三角函数对称轴的求法及应用：依据：y=图像中对称轴为：x=k；y=图像中对称轴为：x=k例：求y＝－2sin2x－π4的对称轴。注：（1）相邻对称轴之间的距离为半个周期；（2）无论是正弦函数还是余弦函数，当图像上的点的横坐标取到对称轴数字时，所对应的正弦值或者余弦值为±1例：已知y=σ的一条对称轴为x=,且𝜎𝜋，则σ＝（））9、三角函数对称中心的求法及应用：依据：y=图像中对称中心为：（k，0）；y=图像中对称中心为（k，0）：y=ta的对称中心为（k）例：求出y=3对称中心：注：(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)对称中心实际上就函数图像与X轴的交点。(2)y＝Asin(ωx＋φ)+B和y＝Acos(ωx＋φ)+B对称中心发生了上下移动。(3)对于y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心不一定在函数图像上。(4)相邻对称中心之间的距离为半个周期。例：已知y=3φ的一个对称中心为（，0），且φ，则φ＝、10、有关三角函数周期的求法：依据：（1）函数y＝Acos(ωx＋φ)、Asin(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|．（2）正弦、余弦函数加绝对值符号，周期变为原来的一半，正切函数的周期不变。（3）利用对称轴、对称中心、以及图像的最高点、最低点之间的距离求周期。11、根据三角函数的图像，求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例：已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：(1)求A，(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，（4）求B。.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.解由图象可知A＝2，T＝8.∴ω＝2πT＝2π8＝π4.方法一由图象过点(1,2)，得2sinπ4×1＋φ＝2，∴sinπ4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2