三角函数最值问题的几种常见解法

1三角函数最值问题的几种常见解法宜兴市丁蜀高级中学谈琴三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例1函数3cos3sin2xxy的最小值为（）.A．2B.0C.41D.6[分析]本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则,23,112ttyt配方，得41232ty,,11t当t=1时,2即cosx=1时，0miny,选B.例2求函数y=5sinx+cos2x的最值[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。48331612,,221sin683316812,,22,1sin,1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy二引入辅助角法例3已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。[分析]此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。解：.47,6,2262,4562sin21452sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxy3三利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例4求函数1cos21cos2xxy的值域[分析]此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y解法一：原函数变形为,1121,1cos,121cosyyxyyx3y或.31y例5（2003年高考题）已知函数)cos(sinsin2xxxxf，求函数f(x)的最小正周期和最大值。[分析]在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：42212sin2cos1cossin2sin22xsnxxxxxxf4f(x)的最小正周期为，最大值为21。四引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式,cossin21cossin2xxxx一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例6求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。[分析]解：.cossin21cossin2xxxx令sinx+cosx=t，则ttyttxx21,2,221cossin22，其中2,2t当.221,14sin,2maxyxt五利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例7求函数xxy22cos4sin1的最值。解：xxy22cos4sin1=9225tan4cot5tan14cot12222xxxx当且仅当,tan4cot22xx即2cotx时，等号成立，故9miny。5六利用函数在区间内的单调性例8已知,0x，求函数xxysin2sin的最小值。[分析]此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设ttyttx1,10,sin，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3miny。七数形结合由于1cossin22xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例9求函数xxxy0cos2sin的最小值。[分析]法一：将表达式改写成,cos2sin0xxyy可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点A的切线与半圆相切与点B,则.0ykAB可求得.3365tanABk所以y的最小值为33（此时3x）.6法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=xbasin22（即引入辅助角法）和有界性来求解。八判别式法例10求函数xxxxytansectansec22的最值。[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：kkxxyyxyxyxxxxxxxxy,0tan,101tan1tan11tantan1tantantansectansec222221y时此时一元二次方程总有实数解.3310313,014122yyyyy由y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx由.31,4,1tan,31minykxxy九分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例11设20214sincos2xaxaxxf，用a表示f(x)的最大值M(a).7解：.214sinsin2axaxxf令sinx=t,则,10t.21442214222aaataattxftg（1）当12a，即tga,2在[0，1]上递增，;21431agaM（2）当,120a即20a时，tg在[0，1]上先增后减，;214422aaagaM（3）当,02a即tga,0在[0，1]上递减，.4210agaM0,42120,21442,21432aaaaaaaaM以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。2005-1-1