数理统计-课程笔记

笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】1数理统计第零课一、求离散型的期望E(X)例1：已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？X105−2P0.20.30.5E(X)=∑xipi=10×0.2+5×0.3+(−2)×0.5=2.5（万元）二、求连续型的期望𝐄(𝐗)例1：设随机变量X的密度函数为f(x)={𝟎，𝐱𝟎𝟒𝐱𝟑，𝟎≤𝐱≤𝟏𝟎，𝐱𝟏，求E(X)2三、已知𝐘=𝐠(𝐱)，求𝐄(𝐘)例1：已知随机变量X的分布列为：X0123P0.10.20.30.4求𝐘=𝟐𝐗−𝟏的期望。例2：设随机变量X的密度函数为f(x)={𝟎，𝐱𝟎𝟒𝐱𝟑，𝟎≤𝐱≤𝟏𝟎，𝐱𝟏，𝐘=𝐗𝟐，求E(Y)。3四、求方差𝐃(𝐗)例1：已知随机变量X的分布列为：X0123P0.10.20.30.4求𝐃(𝐗)。例2：设随机变量X的密度函数为f(x)={𝟎，𝐱𝟎𝟒𝐱𝟑，𝟎≤𝐱≤𝟏𝟎，𝐱𝟏，求D(X)。4D(X)=E(X2)−E2(X)=23−(45)2=275五、根据𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗)的性质进行复杂运算例1：已知X0123P0.10.20.30.45求𝐄(𝟐𝐗𝟐−𝟓)、𝐃(√𝟕𝐗−𝟓)。六、𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗)与各种分布的综合题例1：随机变量X服从二项分布，且𝐄(𝐗)=𝟔，𝐃(𝐗)=𝟑，求P(X=1)6例2：已知X服从𝛌=1的泊松分布，求P[X=𝐄(𝐗𝟐)]1数理统计第一课一、求某一未知参数的矩估计例1：设一大批产品的次品率是P，每次从中随机抽取出10件进行检验，用𝐱𝐢表示第i次抽出的10件产品中次品的个数，则可以认为𝐱𝟏,𝐱𝟐,…,𝐱𝐧独立同分布，总体分布是二项分布B(10，P)，求P的矩估计。E(X)=nP=10PE(X)=nP⟹P=E(X)10E(X)=x1+x2+···+xnnP̂=x1+x2+···+xn10n例2：设𝐱𝟏,𝐱𝟐,…,𝐱𝐧为总体的一个样本，𝐱𝟏,𝐱𝟐,…,𝐱𝐧为相应的样本值，求下述总体的概率密度中的未知参数的矩估计。2f(x)={𝛉𝐂𝛉𝐱−(𝛉+𝟏)，𝐱𝐂𝟎，其他(其中：C0为已知，θ1且θ为未知参数)E(X)=∫xf(x)+∞−∞dx=∫xθ∞CCθx−(θ+1)dx=∫θ∞CCθx−θdx=θCθx−θ+1−θ+1|C∞=Cθθ−1E(X)=Cθθ−1⟹θ=E(X)E(X)−CE(X)=x1+x2+···+xnnθ̂=x1+x2+···+xnnx1+x2+···+xnn-C=x1+x2+···+xnx1+x2+···+xn−nC二、求两个未知参数的矩估计3例1：设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，𝐱𝟏,𝐱𝟐,…,𝐱𝐧是来自X的样本，试求a,b的矩估计量。E(X)=a+b2D(X)=(b−a)²12E(X2)=(b−a)²12+(a+b2)²{E(X)=a+b2E(X2)=(b−a)²12+(a+b2)²⟹{a=E(X)−√3E(X2)−3E2(X)b=E(X)+√3E(X2)−3E2(X)E(X)=x1+x2+⋯+xnnE(X2)=x12+x22+⋯+xn2nâ=x1+x2+⋯+xnn−√3(x12+x22+⋯+xn2)n−3(x1+x2+⋯+xn)2n2b̂=x1+x2+⋯+xnn+√3(x12+x22+⋯+xn2)n−3(x1+x2+⋯+xn)2n21数理统计第二课一、求出某离散型参数的最大似然估计量离散型分布P二项分布B(n,P)P(X=d)=CndPd(1−P)n−d泊松分布P(λ)P(X=d)=λdd!e−λ例1：设X具有分布律X123𝐏𝐊𝛉𝟐2𝛉(1−𝛉)(1−𝛉)²其中θ(0θ1)为未知参数，已知取得了样本值𝐱𝟏=1,𝐱𝟐=2,𝐱𝟑=1，求𝛉的最大似然估计值。P{X=x1}=P{X=1}=θ2P{X=x2}=P{X=2}=2θ(1−θ)P{X=x3}=P{X=1}=θ2lnP{X=x1}=ln(θ2)=2lnθlnP{X=x2}=ln[2θ(1−θ)]=ln2+lnθ+ln(1−θ)lnP{X=x3}=ln(θ2)=2lnθdlnP{X=x1}dθ=2θdlnP{X=x2}dθ=1θ−11−θdlnP{X=x3}dθ=2θ22θ+(1θ−11−θ)+2θ=0⟹θ=56∴θ̂=56二、求出某连续型参数的最大似然估计量连续型分布f(x)均匀分布f(x)={1b−a，a≤x≤b0，其他指数分布f(x)={λe−λx，x00，x≤0正态分布f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2例1：设总体X的密度函数为f(x)={√𝛉𝐱√𝛉−𝟏，𝟎≤𝐱≤𝟏𝟎，其他，其中θ0为未知数，𝐱𝟏,𝐱𝟐,…,𝐱𝐧是来自总体X的一个样本，试求𝛉的最大似然估计量。f(x1)=√θx1√θ−1f(x2)=√θx2√θ−1···f(xn)=√θxn√θ−1lnf(x1)=ln(√θx1√θ−1)=ln√θ+ln(x1√θ−1)=12lnθ+(√θ−1)lnx1lnf(x2)=12lnθ+(√θ−1)lnx23···lnf(xn)=12lnθ+(√θ−1)lnxndlnf(x1)dθ=12θ+lnx12√θdlnf(x2)dθ=12θ+lnx22√θ···dlnf(xn)dθ=12θ+lnxn2√θ(12θ+lnx12√θ)+(12θ+lnx22√θ)+⋯+(12θ+lnxn2√θ)=0⟹n2θ+lnx1+lnx2+⋯+lnxn2√θ=0⟹n2θ+ln(x1×x2×…×xn)2√θ=0⟹θ=n2ln2(x1×x2×…×xn)∴θ̂=n2ln2(x1×x2×…×xn)1数理统计第三课一、区间估计例1：有一大批糖果，现从中随机取出16袋称重如下：设糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间。置信区间为：(X̅−S√ntα2(n−1)，X̅+S√ntα2(n−1))其中：X̅=506+508+499+⋯+49616=503.75n=16⟹n−1=15S2=(x1−X̅)2+(x2−X̅)2+⋯+(xn−X̅)2n−1=(506−503.75)2+(508−503.75)2+⋯+(496−503.75)2152⟹S=6.20221−α=0.95⟹α2=0.025∴tα2(n−1)=t0.025(15)=2.1315∴置信区间为(500.4，507.1)例2：有一大批糖果，现从中随机取出16袋称重如下：设糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。置信区间为：(√n−1×S√χα22(n−1)，√n−1×S√χ1−α22(n−1))其中：X̅=506+508+499+⋯+49616=503.75n=16⟹n−1=15S2=(x1−X̅)2+(x2−X̅)2+⋯+(xn−X̅)2n−1⟹S=6.20221−α=0.95⟹α2=0.0251−𝛼2=0.975χα22(n−1)=χ0.0252(15)=27.488χ1−α22(n−1)=χ0.9752(15)=6.262∴置信区间为(4.58，9.60)1数理统计第四课一、判断单项参数与某数值关系例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖。袋装糖的净重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5kg，标准差为0.015kg。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为(kg)问机器是否正常？(提示：长期实践表明标准差比较稳定，设σ=0.015，于是X~N(μ，0.015²)，取显著性水平α=0.05)H0：μ=μ0=0.5(机器正常)H1：μ≠μ0=0.5(机器不正常)2若|𝑋−μ0σ/√n|≥zα2时，拒绝H0其中X̅=0.497+0.506+⋯+0.5129=0.511μ0=0.5σ=0.015n=9⟹√n=3α=0.05⟹α2=0.025查表得z0.025=1.96∴|X−μ0σ/√n|=|0.511−0.50.015/3|=2.2＞1.96=z0.025即|X−μ0σ/√n|＞zα2∴拒绝H0∴该机器不正常例2：某元件寿命X(以h计)服从正态分布N(μ，σ²)，μ和σ²均未知。现测得16只元件的寿命如下：取α=0.05，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225h？∵X̅=159+280+⋯+17016=241.5∴H0：μ≤μ0=225H1：μ＞μ0若X−μ0S/√n≥tα(n−1)时，拒绝H0其中：X̅=241.5μ0=2253n=16⟹√n=4，n−1=15S=√115[(159−241.5)2+(280−241.5)2+⋯+(170−241.5)2]=98.7259α=0.05查表得t0.05(15)=1.7531∴X−μ0S/√n=241.5−22598.7259/4=0.6685＜1.7531即X−μ0S/√n＜tα(n−1)∴接受H0∴有理由认为元件平均寿命不大于225h例3：某厂生产的某型号的电池，其寿命(以h计)长期以来服从𝛔𝟎𝟐=5000的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差S²=9200。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取α=0.02)？H0：σ2=σ02=5000H1：σ2≠σ02=5000若(n−1)S2σ02≥χα22(n−1)或(n−1)S2σ02≤χ1−α22(n−1)时，拒绝H0n=26⟹n−1=25S²=9200σ02=50004α=0.02⟹α2=0.01⟹1−α2=0.99查表得χ0.012(25)=44.314，χ0.992(25)=11.524∴(n−1)S2σ02=25×92005000=46＞44.314即(n−1)S2σ02χα22(n−1)∴拒绝H0∴有显著变化1数理统计第五课一、判断两项参数间的关系例1：甲、乙两公司都试生产700MB的光盘，从甲的产品中抽查了7张光盘，从乙生产的产品中抽查了9张光盘。分别测得他们的实际存储量如下：现已知甲的光盘储量X~N(𝛍𝟏,𝟐)，乙的光盘储量Y~N(𝛍𝟐,𝟑)。在显著性水平α=0.05下，甲、乙两家公司生产的光盘的平均储量有无显著差异？X1=683.7+682.5+···+677.97=681.17X2=681.5+682.7+···+681.19=679.44∴H0：μ1=μ22H1：μ1≠μ2若||X1−X2−δ√σ12n1+σ22n2||≥zα2，拒绝H0∵H0为μ1=μ2，即μ1−μ2=0∴δ=0X1=681.17X2=679.44σ12=2，σ22=3n1=7，n2=9α=0.05⟹α2=0.025查表得：z0.025=1.96∴||X1−X2−δ√σ12n1+σ22n2||=|681.17−679.44√27+39|=2.19881.96∴||X1−X2−δ√σ12n1+σ22n2||≥zα2，拒绝H0∴两家有差异例2：用两种方法(1和2)测定冰自−0.72℃转变为0℃的水的溶化热(以cal/g计)。测得以下数据：3如上两个样本分别来自总体N(𝛍𝟏,𝛔𝟏𝟐)，N(𝛍𝟐,𝛔𝟐𝟐)，且两样本独立。请判断𝛔𝟏𝟐=𝛔𝟐𝟐假设是否合理(去显著性水平α=0.01)X1=79.98+80.04+···+80.0213=80.02X2=80.02+79.94+·