八年级三角形专题复习

1EDCAB三角形导学案一、课前小测试：1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A.6B.3C.D.2.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（）.A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm3.梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）A．mnnmB.nmmn2C.nmmnD.mnnm24.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为______________．5.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一动点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为______________．2三角形的基本概念三角形的主要线段：三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的内心）；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的外心）；二是三角形的中线是一条线段．三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线．三角形的稳定性：三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上；③首尾顺次连接．“三角形”用符号“”表示，顶点是CBA,,的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”．三角形的分类及角边关系1.三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形三角形按角的关系可以如下分类：)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角形．注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角．2.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形两边之差小于第三边．三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形．②当已知两边时，可确定第三边的范围．③证明线段不等关系．④用于化简求值。⑤用来判别一元二次方程中的3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180．推论：①直角三角形的两个锐角互余．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．4.三角形的面积三角形的面积＝21×底×高．全等三角形1.全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．2.全等三角形的表示和性质“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的对应边相等，对应角相等．这是全等三角形的性质．3.三角形全等的判定三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：可以简写成“边角边”或“SAS”．(2)角边角公理：可以简写成“角边角”或“ASA”．这个公理还有下面的推论：可以简写成“角角边”或“AAS”．(3)边边边公理：可以简写成“边边边”或“SSS”．直角三角形全等的判定：对于直角三角形，判断它全等时，用HL公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL”)．注意：①HL公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形．②有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等．等腰三角形1.等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60．等腰三角形的其它性质：1、等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．2、等腰直角三角形的两个底角相等且等于45．3、等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)．4、等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则ab2．5、等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为CB,，则有：BA2180，2180ACB．2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成：等角对等边).这个判定4定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分．等腰三角形的性质与判定：等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形例题１：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：CF=CH；②判断△CFH的形状并说明理由．（10分）例题２：如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：①图中有几个等腰三角形？为什么？②BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．EDCABHFBADCFE5练习：1.如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E。求证：AE=BE．2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是.３.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBAEDCABF6作业：7