西安交通大学数学分析1997-2008

陇东学院数学系许万银西安交通大学硕士研究生1997年入学考试《数学分析》试题一.选择题(在每小题的四个选项中,只有一个是对的.把所选项前的字母,填在题前的括号内.5315′′×=):⑴设1(1)nnannn=+−+,则是na(B)(A)有界数列;(B)无界数列;(C)无穷小量;(D)无穷小量.⑵4sin21xdxxππ−=+∫(D)(A)12;(B)π;(C)1;(D)0.⑶设2sin,0,()1,0xxfxxxπ.π−≤⎧=⎨+≤⎩则()fx的傅立叶级数在0x=处收敛于(C)(A)1;(B)π;(C)12;(D)2π.⑷设{}2221(,)Bxyxya=+≤,{}2221(,),0,0Bxyxyaxy=+≤≥≥,则(A)(A)124BBxydxydσσ=∫∫∫∫;(B)124BBxydxydσσ=∫∫∫∫;(C)124BBydydσσ=∫∫∫∫;(D)124BBydydσσ=∫∫∫∫.⑸设()xϕ在xa=处连续且()0aϕ,则()()()fxxaxϕ=−在xa=处(C)(A)不可导;(B)可导且()0fa′=;(C)可导且;(D)可导且()0fa′()0fa′.二.()4520′′×=⑴求limxxxxx→+∞⎛⎞++−⎜⎟⎝⎠;解:limxxxxx→+∞⎛⎞++−⎜⎟⎝⎠limxxxxxxx→+∞+=+++311lim111xx1xxx→+∞+=+++128陇东学院数学系许万银129311lim1111limlimlimxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞→+∞+=+++1011000+==+++⑵2154yxx=++,求()ny;解:由于2111(4)(1)1154(1)(4)3(1)(4)314xxyxxxxxxxx+−+⎛⎞====−⎜⎟++++++++⎝⎠1,而11(1)1xx−′⎡⎤′⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥+⎣⎦2(1)(1)x−=−+,231(1)(1)(1)(2)(1)1xxx−−′′⎡⎤′⎡⎤=−+=−−+⎣⎦⎢⎥+⎣⎦,一般地假设()(1)1(1)(2)()(1)1nnnxx−+⎡⎤=−−−+⎢⎥+⎣⎦L,则(1)()(1)11(1)(2)()(1)11nnnnxxx+−+′⎡⎤⎡⎤⎛⎞′⎡⎤==−−−+⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎝⎠⎢⎥⎣⎦L(2)(1)(2)()[(1)](1)nnnx−+=−−−−++L.根据数学归纳法知()(1)11((1)(2)()(1)1(nnnnnnxxx−+1)!1)+−⎛⎞=−−−+=⎜⎟++⎝⎠L,1,2,n=L.同理得()11(1)!1,2,n=L4(4)nnnnxx+−⎛⎞=++⎝⎠⎜⎟,.()()()()111111314314nnnnyxxxx⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛=−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥++++⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎞⎟⎠1(1)!113(1)(4)nnnxx+⎡⎤−=−⎢++⎣⎦1n+⎥,1,2,n=L.⑶求,0()sin1,0.xexfxxx⎧≤=⎨+⎩,31(2)fxd−∫x;解:令,则2tx=−2xt=−,,dxdt=31011110(2)()()()fxdxftdtftdtftdt−−−==+∫∫∫∫0110(sin1)tedttdt−=++∫∫01011(cos)3cos1tette−=+−+=−−.陇东学院数学系许万银⑷判断级数21lnnnn∞=∑的敛散性.解:因为1()lnfxxx=在[2上非负且严格减少,所以级数,)+∞21lnnnn∞=∑与积分21lndxxx+∞∫具有相同的敛散性.而22211limdx→+limlnlnlim(lnlnlnln2)lnlnuuuuudxxuxxxx+∞∞→+∞→+∞===−=+∞∫∫,因此级数21lnnnn∞=∑发散.三.(10′)用“εδ−”语言证明：1()fxx=在00x处的连续性.证明:ⅰ当002xxx−时,有003022xxx.ⅱ0ε∀,取0202min,02xxεδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则当0xxδ−时,有2200000200000112222xxxxxxxxxxxxxxxεε−−−=≤=−=⋅⋅.根据函数连续的“εδ−”定义知1()fxx=在处连续.00x四.(10′)设()fx在[0,1]上可导,且1fx0().对于(0,1)内的所有x,有()1fx′≠.证明:在区间(0,1)内有且仅有一数0x,使00()xfx=.证明:令,.则因为在[0上可导,且()()Fxxfx=−[0,1]x∈()Fx,1]()0(0)0Fxf=−,(1)1(1)0Ff=−.所以,使得,即0(0,1)x∃∈000()()0Fxxfx=−=00()xfx=.假若另有且1(0,1)x∈10xx≠,使得111()()0Fxxfx=−=,不妨设01xx.则在()Fx01[,]xx上满足Rolle中值定理的条件,因此01(,)(0,1)xxξ∃∈⊂,使得()0Fξ′=,而,所以()Fx1()fx=−′′()f1ξ′=,但这与已知条件“对于内的所有(0,1)x,有()fx1′≠”相矛盾.故在区间内有且仅有一数(0,1)0x,使00()xfx=.五.(10′)计算曲线积分22112sincos22xxCeyydxeyxdy⎞⎟,其中曲线C:从⎛⎞⎛−+−⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠∫221xy+=130陇东学院数学系许万银(1,0)−到(1,0)的上半圆弧.解:设2211(,Px)2esin,(,)cos22xxyyyQxyeyx=−=−,则212cos2xQPeyxy∂∂=−=∂∂在整个平面上成立,因此所求曲线积分与积分路线无关,从而可取积分路线为:1C0y=从到的上一段.所以(1,0)−(1,0)1221112seincos022xxyydxeyxdydx−⎛⎞⎛⎞0−131C+−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫=.六.(10′)计算曲面积分33(1)Sxdydzydzdxdxdy−++∫∫,其中S:曲面22zxy=+,01z≤≤部分的外侧(曲面法线向下).根据:若曲面的方程为:,则(,),(,)zfxyxyD=∈S)dydz,,(,yf”,下侧取“(,,Pxy[(DP−∫∫上侧取“+(,,)(,,)SzQxyzdzdxRxyzdxdy++∫∫))(,)(,,(,))(,)(,,(,))]xyxxyfxyQxyfxyfxyRxyfxydxdy′′=±−+,−”.解:记{}22yxy=+≤,则(,)1Dx(1)33Sxdydzydzdxdxdy−++∫∫33[(1)221]Dxxyydxdy=−−−−⋅+∫∫44221)D(2xyxdxdy−−∫∫44222DDDDxdxdyydxdyxdxdydxdy=+−−∫∫∫∫∫∫∫∫=+4422yydxdy0DDydxdπ=+−∫∫∫∫−44ydxdyDπ=−∫∫22114114xxdxydyπ−−−−=−∫∫21110dx48xydyπ−−∫∫=−211510185xdxyπ−−=−∫()51221815xdxπ−=−−∫()512201615xdxπ=−−∫()5sin2220161sincos5xdπθθθθπ==−−∫62016cos5dπθθπ=−∫16531564222πππ=⋅⋅⋅⋅−=−.七.证明:若(10′)()fx在上连续,则[,]ab()fx在上存在最小值.[,]ab证明:ⅰ()fx在[,]ab上有下界.事实上若()fx在[,]ab上无下界,则0L∀,[,]Lxab∃∈,使得()LfxL对数n,[,]n.特别正整xab∃∈,使得n()fxn−,1,2n=L.由此(fx于数limn→∞)n=−∞.由列{}[,]nxab,从而{⊂}nx有收敛子列{}knx,设0limkknxx→∞=,则0[,]xab∈.又因()fx在0x处连续,所以0()lim(k)knfxfx与lim(fx→∞→∞=,但这)knk=−∞矛盾.陇东学院数学系许万银132xⅱ记,若[,]inf()xabmf∈=[,]xab∀∈,有()fxm,则1()()Fxmfx=−在上连续,从而在上有下界,即[,]ab[,]ab0L[,]xab∀∈,有1()Fxmf()Lx=−,即就是[,]xab∀∈,有1()fxmmL−,这与[,]inf()xabmf∈x=矛盾.因此1[,]xab∃∈,使得1()fxm=,故()fx在[,上存在最小值.]ab八.(10′)设22()1nnxfxnx=+(1,2,n=L),证明:⑴对任意的(0,1)α∈,()nfx在[,1]α上一致收敛于零;⑵在[0,1]上()nfx不一致收敛.证明:,有[0,1]x∀∈22lim()lim01nnnnxfxnx→∞→∞==+.令22222(1)()0(1)nnnxfxnx−′==+,得1xn=.当10,xn⎡⎞∈⎟⎢⎣⎠时()0fx′,当1,1xn⎛⎤∈⎜⎥⎝⎦时.()0fx′因此[0,1]11max()2nxfxfn∈⎛⎞==⎜⎟⎝⎠.⑴对任意的(0,1)α∈,因为当1nα时,有22[,1][,1]sup()0max()()01nnnxxnfxfxfnααααα∈∈−===→+(),n→∞所以()nfx在[,1]α上一致收敛于零;⑵因为[0,1][0,1]11sup()0max()022nnxxfxfx∈∈−==→≠(),所以在[0上n→∞,1]()nfx不一致收敛.九.(5′)已知()fx在[1,)+∞上连续,并有()0fx≥且1()fxdx+∞∫收敛.则这一结论是否成立?(若成立,需给出证明;若认为不一定成立,需给出反例)lim()0xfx→+∞=解:这一结论不一定成立.例如取222222346,1,2114,,,2n≥22()114,220,xxnxnnxnnnfxnxnnxnnn⎧−+≤≤⎪⎪⎡⎤⎪−+−≤≤⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎡⎤−−−≤+⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩其它.(这里)陇东学院数学系许万银则2111()6nfxdxnπ∞+∞===∑∫.但1()2,0,1,2,2fnfnn⎛⎞≡+≡=⎜⎟⎝⎠L,因此lim()xfx→+∞不存在.133陇东学院数学系许万银硕士研究生入学考试数学分析试题六西安交通大学硕士研究生1998年入学考试《数学分析》试题一.选择题(在每小题的四个选项中,只有一个是对的.把所选项前的字母,填在题前的括号内.6530′′):×=⑴设21sin,0,()0,0.xxfxxxε⎧≠⎪=⎨⎪=⎩((0,1)ε∈),则()fx在0x=处(C)(A)极限不存在;(B)极限存在但不连续;(C)连续但不可导;(D)可导.⑵设()fx在处可导,且0x=(0)0f′≠,10()()xnnnFxtfxt−=−∫dt,则当时,是0x→()Fx(D)(A)x的阶无穷小;(B)(1n+)x的阶无穷小;n(C)x的同阶无穷小;(D)x的阶无穷小.2n⑶设()fxx=,[0,2]xπ∈,则()fx的傅立叶级数在2xπ=处收敛于(C)(A)2π;(B)0;(C)π;(D)2π.⑷设222222221()sin,0,≠(,)0,0,xyxyxyfxyxy⎧++⎪+=⎨⎪+=⎩则(,)fxy在点处(0,0)(D)(A)(,)xfxy′与(,)yfxy′不存在;(B)(,)xfxy′与(,)yfxy′不连续且(,)fxy不可微;(C)(,)xfxy′与(,)yfxy′连续且(,)fxy可微;(D)(,)xfxy′与(,)yfxy′不连续但(,)fxy可微.⑸下列的函数中,满足“0000limlim(,)limlim(,)xyyxfxyfxy→→→→=，但00lim(,)xyfxy→→不存在”的是(C)(A)11sinsin,0,0,(,)0,00.xyxyyxfxyxy⎧+≠⎪=⎨⎪≠==⎩或(B)1sin,0,(,)0,0.xyyfxyy⎧≠⎪=⎨⎪=⎩(C)222222,0(,)0,0.xyxyxyfxyxy⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,(D),0(,)0,0.yxxyxyfxyxy−⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,⑸设为逆时针方向的圆周是C229xy+=,则曲线积分2(22)(4)Cxyydxxxdy−+−∫的值是(D