初中数学培优竞赛讲座第19讲__丰富的图形世界

1第十九讲丰富的图形世界我们生活在一个数字化时代，也生活在一个图形的世界里，图形有黑色的，也有彩色的；有静止的，也有运动的；有平面的，有立体的；有具体的，有抽象的，它既可以是艺术中的绘画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录．数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者互相结合，常常有助于问题的解决．历史上一些著名科学家，如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦，都曾被欧基里德几何迷住过，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人，不准入门．”在学习几何的起始阶段，我们可以自己动手实验、操作，在观察和实验中，掌握知识的来龙去脉，学到发现规律的方法，感受到发现的欢乐，促进科学思维能力的提高．例题【例1】爸爸给女儿圆圆买了一个圆柱形的生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块)，分给l0个小朋友，若沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切刀．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把蛋糕看作一个圆面，每切一刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一条线段，于是问题转化为：在一个圆内画两个端点在圆周上的线段，这些线段把圆分成若干部分，问至少画几条线段才可以把圆分成不少于10部分．注：小学阶段学的是实验几何，即时一些简单图形性质的认识，往往是通过观察和实验，对一些图形的研究也仅侧重于面积和体积的计算，只告诉你应该这样，并没有告诉你为什么这样，并没向你介绍证明结论的普遍性，更没教你证明结论普遍性的方法．初中学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，使你学习逻辑分析、论证的方法，使你逐步具备可持续发展的能力．爱因斯坦曾说：“推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心．”【例2】图中有一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是()．思路点拨展开与折叠是两个步骤相反的过程，只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面．【例3】棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．(1)如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．(河北省竞赛题)思路点拨由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，每个方向上均有6个等面积的小正方形．【例4】用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体．(1)如图①，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为cm；(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图②中的虚线)从前到后打一个边长为lcm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为cm2；(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm、宽lcm的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为130cm2？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由．(第16届江苏省竞赛题)思路点拨对于(3)，扩孔有不同的方案，通过一一列举、计算比较，求x的值．2注：学习几何的方法与学习算术、代数相比有较大突变，我们应通过剪拼、折叠，设计等操作活动，去感受图形运动变化规律，还应注意利用图形直观，仔细观察．从图形的结构分析，提高抽象、概括能力．【例5】请以给定的图形“OO、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件，构思尽可能多独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．(俞学明等著《基础教育新概念一创造教育》)思路点拨解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．学力训练1．如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的4组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空．A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．(江西省中考题)2．图①是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图②的图形，如果把图②的纸片重新恢复成图①的纸盒，那么与点G重合的点是．(江苏省竞赛题)3．你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为．4．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是．5．我们从不同的方向观察同——物体时，可能看到不同的图形．如图，图①是由若干个小正方体所搭成的几何体，图②是从图①的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图①的左面看这个几何体所看到的图形是()．(无锡市中考题)36．下面几个图片都是由6个相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是()．(连云港市中考题)7．图①是一个水平放置的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形时，小正方体木块总数应是()．(宁波市中考题)A．25D．66C．91D．1208．一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它摆成如图的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被她染上颜色的面积有()平方米．A．21B．24C．33D．37E．429．如图是“毕达哥拉斯树”，它是由一个正方形不断“生长”而得的，找出它的“生长”规律，并画出一个更大的“枝繁叶茂”的毕达哥拉斯树．10．现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少种不同的三角形?画图说明．11．把两个长3cm、宽2cra、高lcm的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大cm2．12．一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为cm2．13．把正方体的六个面分别涂上不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456现将上述大小相同、颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个平面放置的长方体，那么长方体的下底共有朵花．14．如图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中的()．(山西省中考题)415．小华用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是()(江苏省镇江市中考题)16．图(a)是图(b)中立方体的平面展开图，图(a)与图(b)中的箭头位置和方向是一致的，那么图(a)中的线段AB与图(b)中对应的线段是()．(江苏省竞赛题)A．eB．hC．kD．d17．用火柴摆出正方形，用多少根火柴才能摆出6个正方形?尽可能多地设想各种方案，(注：要求摆出的6个正方形中每个正方形的边长限于一根火柴的长)18．商标是刻在或印在商品表面或包装上的一种标志记号，它使该商品同其他商品有所区别，因此，某种商品的商标是该商品的象征，须向国家有关部门登记，备案的商标称作注册商标，它受国家法律保护，随着商品经济的发展，商标的设计成为一项重要的商业业务项目，由于几何图形构成的商标具有简明、和谐、对称等特点，所以深为商标设计者所青睐．(1)画出你所熟悉的由几何图形构成的商标(不少于4个)；(2)用你所熟悉的基本图标，设计“山川”牌助动车商标，并说明商标中几何图形的名称、组合的形式及其含义．19．如图是一个由12个相似(形状相同，大小不同)的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案?你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案?最好再给你设计的图案取一个名字．5参考答案6