《电工电子技术》第3章 正弦交流电路

第3章正弦交流电路3.1正弦交流电的基本概念3.2正弦量的相量表示3.3正弦交流电路中的三种基本元件3.4RLC串联、并联交流电路3.5正弦交流电路的功率3.6谐振退出3.1正弦交流电的基本概念3.1.1周期与频率3.1.2初相与相位差3.1.3幅值与有效值退出正弦交流电路的激励信号是随时间按正弦规律变化的电压或电流，我们称之为正弦电压或正弦电流。以电流为例，正弦量的时间函数定义为3.1正弦交流电的基本概念)tsin()(mIti其波形如图3-1所示。（3-1）2πImito-Imabc图3-1正弦电压的波形3.1.1周期与频率1．周期交流信号变化一次所需的时间称为周期，用T表示，其单位是s（秒），常用的周期计量单位还有ms（毫秒），μs（微秒）。图3-1中正弦量从a点变到c点经历了一个周期。当1时，周期为2π2．频率一秒钟内信号重复变化的次数称为频率，用f表示，其单位是Hz（赫兹），常用单位还有kHz（千赫[兹]），MHz（兆赫[兹]）。由周期与频率的定义可以得到如下关系式：Tf1(3-2)3．角频率正弦交流电在单位时间内变化的角度称为角频率，用ω表示，单位是rad／s（弧度每秒），也表示正弦交流电变化的快慢。因为一周期经过的角度α＝2πrad（3600），故角频率与频率、周期三者之间的关系为：Tf223.1.2初相与相位差1．初相当相位角(ωt+φ)中的t=0时，相位角为+φ，我们称其为初相位，简称初相。初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值，其单位为rad（弧度）或0（度）。规定－π≤φ≤π。因此，当t=0时，如果正弦交流电的函数值为正，即sinφ＞0，表明初相位φ是一个正角；反之，如果正弦交流电的函数值为负，即sinφ＜0，则表明初相位φ是一个负角。2．相位差两个同频率的正弦量，其初相位和最大值不一定相同，如图3-2所示。uiu,itui图3-2同频率不同相位的正弦波形电压和电流的函数式分别为：)sin()sin(mmiutIitUuu、i的初相位分别φu和φi，u与i的相位差为：φ=(ωt+φu)－(ωt+φi)=φu－φi若φ＞0，说明φu＞φi，电压u比电流i先达到最大值（或零点），称电压u超前电流i一个相位角φ，或称电流i滞后于电压u一个相位角φ。若φ＜0，则称电压u滞后于电流i一个相位角φ。超前与滞后是相对的，是指它们到达正最大值的顺序。3.1.3幅值与有效值正弦交流电在某一时刻的大小称为交流电的瞬时值，可以表示为：i(t)=Imsin(ωt+φi)电压和电动势的瞬时值分别表示为：)sin()()sin()(mmeutEtetUtu正弦交流电瞬时值中的最大值即为幅值，它反映该正弦量变化的幅度，不随时间变化。图3-3中有两个相同的纯电阻R，其中一个电阻通以交流电流i，另一个电阻通以直流电流I，交流电流i在时间T内通过纯电阻R产生的热量为：TdttRiQ021)(iI+--+RRuu（a）通交流电流i（b）通直流电流I图3-3直流电流I在相同时间T内通过同一电阻R产生的热量为：Q2=I2RT根据有效值定义（Q1=Q2）可得，RTIdtRiT202则交流电流有效值的表达式为：TdtiTI021交流电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根。若把i(t)=Imsinωt（令φi=0）代入式(3-11)，则(3-11)mTmTmIdttITdttITI212cos11sin10202正弦交流电压和正弦交流电动势的有效值与最大值关系为：mmmm707.02707.02EEEUUU3.2正弦量的相量表示3.2.1正弦量的相量表示法3.2.2基尔霍夫定律的相量表示退出3.2.1正弦量的相量表示法1．相量与正弦量的表示对于正弦交流电流i=Imsin（ωt+φi），可用相量表示为：iiIeIIeIIIiijjmmm正弦交流电压u=Umsin（ωt+φu），可用相量表示为：uuIeUUeUUUiijjmmm2．相量图相量图就是相量在复平面上的图形表示，正弦电流i=Imsin（ωt+φi）的幅值、有效值相量图如图3-4所示。+j+1φiImImo+j+1φiIIo（a）幅值相量图（b）有效值相量图图3-4正弦量的相量图3．正弦量的相量运算则两正弦相量的和为：i=i1＋i2=Im[Im1ejφt]＋Im[Im2ejφt]=Im[(Im1＋Im2)ejφt]Im=Im1＋Im2正弦量的差：i=i1－i2=Im[Im1ejφt]－Im[Im2ejφt]=Im[(Im1－Im2)ejφt]Im=Im1－Im2【例3.1】已知两正弦量分别为：i1=102sin(10t＋1500)A，i2=202sin（10t－600）A，试求i1+i2。解：i1的有效值相量为I1=10∠1500A，i2的有效值相量为I2=20∠(－600）A，则i1+i2对应的相量为：10∠1500＋20∠(－600）=10(－0.876＋j0.5)＋20(0.5－j0.866)=1.34－j12.32=12.39∠(－83.790）A所以，i1+i2=12.392sin(10t－83.790)A。3.2.2基尔霍夫定律的相量表示1．相量形式的基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律用方程表示为：∑i=0这些正弦电流用相量表示，得到相应的相量形式为：∑I=0将其表述如下：在正弦交流电路中，对任一节点，流入该节点的各支路电流相量的代数和恒为零。2．相量形式的基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律用方程表示为：∑u=0这些正弦电压用其相量表示，得到相应的相量形式为∑U=0表述如下：在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和恒等于零。3.3正弦交流电路中的三种基本元件3.3.1电阻元件3.3.2电感元件3.3.3电容元件退出1．基本概念线性电阻元件（简称电阻）定义为：在电压与电流关联参考方向下，任一时刻二端元件两端的电压和电流的关系服从欧姆定律：u=RiR称为线性电阻元件的电阻，单位为欧[姆](Ω)。电阻的倒数称为线性电阻元件的电导G：RG1电导的单位为西（S）。当用电导时，欧姆定律可表示为：i=Gu3.3.1电阻元件2．电阻元件的电压电流关系和相量形式+-uRiiou图3-5电阻元件图3-6电阻元件的伏安特性1）电压电流关系如图3-6所示。图中，直线的斜率为电导G。2）相量形式如图3-7所示。在电阻元件的电流电压关系中，u和i都是同频率的两个正弦量，其相量形式为：+-URIoIU+j+1iu图3-7电阻元件的相量模型图3-8电阻元件的电压、电流相量IRU即有，U∠φu=RI∠φiU=RI，φu=φiu与i之间相位差φ=φu－φi=0，表示电压u与电流i同相。电压、电流的相量图如图3-8所示。+-URIoIU+j+1iu图3-7电阻元件的相量模型图3-8电阻元件的电压、电流相量3．正弦交流电路中电阻功率的计算瞬时功率p的定义为能量对时间的导数，是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定。即有，)()()(titudtdwtp若用电导G表示，电阻元件消耗的功率为：p=Gu2=i2R电阻元件从0到t的时间吸收的电能为：dRiWt02)(电阻元件瞬时功率为：p=ui=Ri2=u2/R设流过电阻元件的电流为，则其两端的电压为：tUtRItuRRRsin2sin2)(则瞬时功率为：)2cos1(sin2)()()(2tIUtIUtitutpRRRRRRR由于余弦函数的值域为[－1，1]，即tcos2≤1，故，)2cos1()(tIUtpRRR≥0T/2TotpR(t)uR(t)iR(t)pR(t)uR(t)，iR(t)图3-9电阻元件的瞬时功率3.3.2电感元件1．基本概念对于线性电感元件，在任一时刻的磁通链ψ与电流i之间具有如下线性关系：ψ=Li。如图3-10所示。线性电感元件的韦安特性是ψ-i平面上通过坐标原点的一条直线，如图3-11所示，图中，直线的斜率即为电感L。+-uiL图3-10电感元件ioψ图3-11电感元件的韦安特性2．电感元件的电压电流关系和相量形式1）电压电流关系当电流i随时间变化时，磁通链ψ也相应地随时间变化，在电感元件中产生的感应电压为：dtdu代入电感元件定义式，则有：dtdiLu表明在任一时刻，电感元件的感应电压与电流的变化率成正比。2）相量形式当有正弦电流通过电感元件时，其正弦电压与电流的关系可用相量形式表示为：ILUj即（相量乘以j相当于相位正向旋转900），U∠φu=ωLI∠(φi＋900）所以，090iuLIULIU或由φu=φi＋900可知，u与i的相位差为φu－φi=900，表示在相位上，电感元件的电压相位超前电流相位900，电压电流的相量图如图3-12所示。电感元件的阻抗为：+1+j900IUo图3-12电感元件电压电流相量关系电感元件的阻抗为：∠(φu－φi)=ωL∠900=jωL=jXL电感元件的相量模型如图3-13所示。+-LUI图3-13电感元件的相量模型3．正弦交流电路中电感功率计算电感元件吸收的瞬时功率为p=ui，电感元件吸收的磁场能量为其瞬时功率p对时间的积分，即：)(21)(21)()()()()()(22LitLidiLdiddiLdiutWttt可以认为在时，，则上式便可写为：)(21)(2tLitW从时间t1到t2电感元件吸收的磁场能为：)()()(21)(21)(121222)()(21tWtWtLitLidiLWtiti3.3.3电容元件1．电容元件电容元件具有容纳电荷的特性，通常简称为电容，电路符号如图3-14所示。任一时刻其所存储的电荷q和端电压u之间具有如下线性关系：q=Cu电容的单位为法[拉]（F），常采用微法（uF）或皮法（pF）。电容元件的特性称为库伏特性，如图3-15所示。直线的斜率即为电容C。库伏特性表明q与u的比值C是一个常数。+-Cqiu图3-14电容元件图3-15电容元件的库伏特性ioq2．电容元件的电压电流关系和相量形式1）电容元件电压电流的关系由库伏特性，有：dtduCdtdqi表明，在任一时刻，电容元件的电流与电压的变化率成正比。当dtdu很大时，i很大；当dtdu很小时，i很小；dtdu等于零（u为直流电压的情况）时，i为零，电容相当于开路。对于电容元件，当外加正弦电压u时，电流dtduCi。其用相量的形式表示为：UCIj或CIUjI∠φi=ωCU∠(φu＋900)所以，0901uiCIUCUI或电容元件电压、电流的相量图如图3-16所示。+1+j900oUI图3-16电容元件电压、电流的相量电容元件的阻抗为：C0mmCj1jj1)90(1)(XCCCIUIUIUIUZiuiu电容元件的相量模型如图3-17所示。+-CUIZC=-jXC图3-17电容元件相量模型3．正弦交流电路中电容功率计算在电压u和电流i的关联参考方向下，电容元件吸收的瞬时功率为p=ui。电容元件吸收的电场能量是瞬时功率p从－∞到t的积分，即，)(21)(21)()()()()()(22CutCudiCdudduCdiutWttt可以认为在t时，0)(u，则上式便可写为)(21)(2tCutW从时间t1到t2电容元件吸收的磁场能为：)()()(21)(21)()(121222)()(21tWtWtCutCuduLtWtiti当电容元件充电时，∣u(t2)∣＞∣u(t1)∣,W(t2)＞W(t1)，表明在这