数字信号处理课件1.3～4

数字信号处理2020年7月10日星期五第1章离散时间信号与系统1.1离散时间信号—序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样数字信号处理2020年7月10日星期五1.2线性移不变系统离散时间系统T[•]x(n)y(n))]([)(nxTny在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[]表示，即数字信号处理2020年7月10日星期五1.2线性移不变系统—线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。)],([)(11nxTny)]([)(22nxTny)()()]([)]([)]()([212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中a、b为任意常数。设数字信号处理2020年7月10日星期五[例]是线性系统)792sin()()(nnxny证：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()]()([)()(22112211nnxanxanyanya)792sin()]()([)]()([22112211nnxanxanxanxaT)()()]()([22112211nyanyanxanxaT所以，此系统是线性系统。1.2线性移不变系统—线性系统数字信号处理2020年7月10日星期五1.2线性移不变系统—移不变系统时不变系统T[•]x(n)y(n))]([)(nxTny若则)]([)(00nnxTnnyn0为任意整数。输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。数字信号处理2020年7月10日星期五[例]:bnaxny)()(证：bnnaxnnxT)()]([00bnnaxnny)()(00)]([)(00nnxTnny所以，此系统是时不变系统。1.2线性移不变系统—移不变系统数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程在线性移不变系统中，系统的输出等于什么？)(*)()(nhnxny注意:其中，h(n)代表了系统的特性系统的输入与系统单位冲激响应的卷积和。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程在中)(*)()(nhnxny系统输出y(n).（1）已知x(n)和h(n)，可求（2）已知x(n)和y(n)，可求系统特性h(n).（3）已知h(n)和y(n)，可求系统输入x(n).这三种运算方式分别称为：系统分析，系统辨识和系统反卷积数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程1、定义：在离散线性移不变系统中，常用常系数线性差分方程表示输入输出关系MmNkkmknyamnxbny01)()()(10a，或：数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程MmNkkmknyamnxbny01)()()(中在)(...)1()()(100MnxbnxbnxbmnxbMMmm)()2()1()(211NnyanyanyaknyaNNkk表示当前输入和过去M个输入的线性组合。表示过去N个输出的线性组合。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程(1)常系数：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常数（不含n）.(2)阶数：输出变量y(n)中n的最大序号与最小序号之差。如N=N-0.(3)线性：y(n-k)，x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程2、主要用途：(1)可求系统特性---单位抽样响应h(n)。(2)求出h(n)后在已知初始状态y(-1),y(-2),…,y(-N)下，可求解系统的输出（瞬态响应）。(3)差分方程得到系统结构.数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程3、用迭代法求h(n)例:已知常系数线性差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应h(n),(初始状态y(-1)=0).解：),()(,)()(nhnynnx时当所以h(-1)=y(-1)=0方程可写成y(n)=ay(n-1)+x(n)利用迭代法可求y(n).数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程即：数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程即：所以：数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程注意：（1）一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始状态）所决定。如：上例中，若令初始条件y(0)=1,为既不是移不变系统，也不是线性果系统(p31-32)。（2）我们讨论的系统都假定为：系统的初始状态为0，这时，常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表可实现的因果系统。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程4、用差分方程求系统结构用差分方程可直接得到系统结构(运算结构)。例：y(n)=ay(n-1)+x(n)用⊕表示相加器；用表示乘法器；用表示一位延时单元。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程5、差分方程的MATLAB仿真利用MATLAB求差分方程的解，此时调用格式：y=filter(b,a,x)参数x为输入向量（序列），要求与y长度相等。b,a分别为差分方程系数bi,ai构成的向量.y为输出序列。数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程例：用MATLAB计算差分方程当输入序列为时的输出结果（初状态为0）。)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0)3(6.0)2(45.0)1(7.0)(nxnxnxnxnynynyny)()(nnx400),(nny数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程解：MATLAB程序如下：N=41;%输出序列个数b=[0.8-0.440.360.02];%x项系数a=[10.7-0.45-0.6];%y项系数x=[1zeros(1,N-1)];%delta(n)n=0:1:N-1;%输出序号y=filter(b,a,x);%0状态下的输出stem(n,y)%仅取N项xlabel('n');ylabel('幅度')数字信号处理2020年7月10日星期五1.3常系数线性差分方程数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样抽样是利用周期性脉冲系列p(t)，从连续信号中抽取一系列的离散值，即为抽样信号(序列)。抽样是模拟信号数字化的第一个环节，依靠抽样器完成。实际的模拟信号在A/D芯片中完成抽样、量化后输出数字信号。)(txa)(ˆtxa本节分析抽样后的频谱有什么变化，在什么条件下，可从抽样信号中无失真地恢复出原来的信号？数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样1、抽样器：相当于一个电子开关。其中称为理想抽样，，当),()(0ttpTT，用公式表示为：为周期的周期冲激序列是以TtT)(mTmTtt)()(数字信号处理2020年7月10日星期五实际采样S)(txa)(ˆtxa)()()(ˆtPtxtxaaT0tT2T)(ˆtxa0tP(t)T0txa(t)最高频率为fc数字信号处理2020年7月10日星期五0)()()(ˆtPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()(ˆ)(txa)(ˆtxa)(),(tPtP1.4连续时间信号的抽样理想采样xa(t)P(t)0txa(t)^0t0tT1T冲激函数序列0数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样2、理想抽样在理想抽样下：代入)()()(ˆttxtxTaamTmTtt)()(maamTttxtx)()()(ˆ时不为零，所以只在由于mTtmTt)(maamTtmTxtx)()()(ˆ这就是抽样信号的时域表达式。数字信号处理2020年7月10日星期五在理想抽样下的频谱变化。两边作傅立叶变换即可对maamTtmTxtx)()()(ˆ根据“时域相乘，频域作卷积”的性质),()]([DTFT),(ˆ)](ˆ[DTFT),()]([DTFTjtjXtxjXtxTTaaaa为叙述方便，记)(*)(21)(ˆjjXjXTaa1.4连续时间信号的抽样数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样)(*)(21)(ˆjjXjXTaa)()(sksTkj代入：得：数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样即：数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样设原频谱为：则理想抽样后的频谱为：(周期延拓)1/T抽样频率2/T如果hs/2?数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样周期冲激序列的频谱(离散时间傅立叶变换DTFT)：TktjtssksTTT/2),()]([DTFT)()(的频谱作傅立叶变换，可得它对s数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样-信号的频谱xa(t)－txp(t)ootTpx(nT)oN点xp(n)oN点nTn(a)(b)(c)(d)|Xa(j)|1－0o0|Xp(jk)|ok－|X(ej)|1/T|X(ejk)|soo－N点sT时域连续频域连续频域离散时域连续周期时域离散时域离散周期频域连续周期频域离散周期数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样（1）理想抽样后的频谱是周期性的频谱。。1/T的度为周期延拓而成，只是幅为间隔作Ω以理想抽样s原频谱的后的频谱是原频谱数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样（2）当时，频谱会发生混叠。sh21数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样（3）只有当时，频谱不会发生混叠。sh21当信号的最高频率没有超过折叠频率时，任何一段[(k-0.5)Ωs,(k+0.5)Ωs]长的频谱，均包含有原频谱的全部信息，有可能完全恢复原信号。数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样-奈奎斯特h发生混叠若xa(t)是频带宽度有限的，要想抽样后x(n)=xa(nT)能够不失真地还原出原信号xa(t)，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率（相反）即fs≥2fhs/2折叠频率2021SSaa,,jXTjXˆhs2数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样为了避免混叠，一般在抽样器前加一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为，以便滤除掉高于的频率分量。2/s2/s数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样抽样信号的恢复：当满足抽样定理时，抽样信号可恢复原信号。一般是通过低通滤波器取出[-0.5Ωs,0.5Ωs]之间的频谱。数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样-信号的恢复（1）低通滤波器的频率特性2/||02/||,)(ssTjH当一个信号通过低通滤波器时，在时域上与低通滤波器的单位冲激响应h(t)作卷积运算，在频域上，则是频谱相乘。数字信号处理2020年7月10日星期五1.4连续时间信号的抽样-信号的恢复（2）抽样信号通过低通滤波器后的频谱。（3）抽样信号通过