南昌大学-2010～2011学年第二学期数学物理方法期末考试试卷B卷答案

第1页共7页南昌大学2010～2011学年第二学期期末考试试卷参考答案与评分标准试卷编号：6032(B)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系09级姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分394021100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共39分)得分评阅人说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1.复数1ie的模为e，主辐角为21弧度。2.若解析函数),(),()(yxivyxuzf的虚部(,)vxyxy且(0)1f，则解析函数为zzi。3.2000|2009|3(2011)zzdz0。4.在12z的环域上，函数1()(1)(2)fzzz的洛朗级数展开为11011[(1)]32kkkkkzz5.2012x2011ecosx()xdxe。第2页共7页6.函数sin/()zzfze在0z的奇点类型为可去奇点，其留为0。7.求解本性奇点留数的依据为洛朗级数展开的负一次项系数。8.在(,)这个周期上，()fxx。其傅里叶级数展开为12sinkkxk9.当02x时，()1fx；当20x时，()1fx；当||2x时，()0fx。则函数的()fx傅里叶变换为2()(1cos2)B10.2()1sin3tftet的拉普拉斯变换为211329ppp。11.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为、095,[0,]59(,)9()5,[,]49thxlxluxthlxlxll。12.ln(1)i23(21)(2),0,1,2,2nnn。13.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）若函数)(zf在z点可导，则函数)(zf在z点必解析。（×）（2）数学物理方程的定解条件可以不含边界条件但一定要有初始条件。（×）（3）设*z为z的共轭复数，则22*||||zzzz。（√）二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分22|4|4(3)(1)zzdzIzz第3页共7页解：由题意被积函数22()(3)(1)zfzzz，有一个二阶极点01z和一个单极点03z。（3分）又因为二阶极点01z不在积分回路之内，所以现在只考虑单极点03z，即222233Re(3)lim[(3)]lim[](3)(1)(1)zzzzsfzzzz916（5分）所以复积分22|4|492Re(3)(3)(1)8zzdzIisfizz（2分）2.用留数定理计算实积分2cos4sin236xxxdxx。解：由题意222cos4sin2cos4sin2363636xxxxxxdxdxdxxxx而422cos413636zixdxedzxz（1）222sin213636zixxzdxedzxiz（2）（2分）对于（1）式中，积分函数有两个单极点6i，6i在上半平面，而4236ziez在6i的留数为4424266lim[(6)]lim[]36612zizizizieeezizzii（3分）对于（2）积分中的函数有两个单极点6i，函数在6i的留数为2212266lim[(6)]lim[]3662zizizizizezeezizzii（3分）所以241224122cos4sin2[]36122122xxxeedxieexii（2分）第4页共7页3.用拉普拉斯变换求解2022,(0)|1.ttdydydyyteydtdtdt已知1!][nstnspnet，1!][nnpnt。解：由题意，并根据导数定理，有2222332221()1()12()2(1)1(2)()2(1)11()21(1)(2)112111111()416(1)9(1)271272112812692727ttttpypppypyppppypppyppppyppppppyteteee（分）（分）（分）（分）第5页共7页4.试给出偏微分方程237540xxxyyyxyuuuyuxuu的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。解：由题意，偏微分方程237540xxxyyyxyuuuyuxuu知，111222121,1,3,7,5,1,4aaabybxcf所以，该微分方程的特征方程为2111222()2()0dydyaaadxdx（2分）即，2()2()30dydydxdx（1）又因21211221340aaa,（4分）该偏微分方程为双曲型。由（1）式3dydx或者1dydx可以确定两组特征线：123yCyxC（3分）所以变量变换应为3yxyx（1分）第6页共7页三、偏微分方程求解题(共21分)得分评阅人1.试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程40ttxxuu，初始条件为00,cos2cos3tttuxuxx。(本小题10分)解：由题意11(,)[()()]()22xatxatuxtxatxatda（2分）初始条件00(),()cos2cos3tttuxxuxxx2a所以2222222211(,)[()()]cos2cos3221cos2cos3411[cos(32)cos(32)]4211coscos5881(,)[sin(2)sin(2)]81[sin(40xatxatxtxtxtxtxtxtxtxtuxtxatxatdaxdxdxdduxtxxtxt（6分）510)sin(510)]2xtxt（分）第7页共7页2.设)(xX满足方程0XX和边界条件'(0)'(2)0XX，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题11分)解：(1)由题意，对于常微分方程：()()0XxXx(1)(0)(2)0XX(2)现在先求解X，对0,0,0三种情况进行讨论：a)0，由(1)式的解是12()xxXxCeCe积分常数1C，2C，由(2)决定，即120CC，22120EECeCe由此得出01C，02C而0)(xX。无实际意义，即0无可能性。（3分）b)0，式(1)的解是21)(CxCxX则根据(2)式，有10C，1(2)0XC即2C为任意数此时2()XxC。（3分）c)0，由(1)解是12()cossinXxCxCx则由(2)式，有1sin20C，20C，由此有01C且02C或者20C和sin20因01C，02C时，0)(xX无实际意义。因此，只能有sin20E和20C由sin20同时我们可以得到的表达式：2,(1,2,3)4kk(3)（4分）对应的本征函数为：21()cos,(1,2,3)4kXxCxk（1分）