等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版

[数列]1|10二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．递推式表示为1nnaad或1(2)nnaadn．例如：数列{}na满足12nnaa，则数列{}na是公差为2的等差数列．注：0d时，为递增数列；0d时，为递减数列；0d时，为常数列．2．等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项．此时2abA，2abA．3．等差数列的通项公式等差数列{}na的首项为1a，公差为d，则1(1)naand．例1在等差数列{}na中，若1038a，2078a，则15a_____．解析：15a为等差中项，则1020152aaa，153878582a．答案：58例2等差数列{}na中，510a，1231a，则通项公式na_____．解析：设公差为d，则511214101131aadaad，解得123ad23(1)35nann.答案：35n例3401是不是等差数列5,9,13,的项？解析：15a，(9)(5)4d，54(1)41nann令40141n，解得100n，即401是这个数列的第100项．答案：是例4{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（）A．667B．668C．669D．670解析：1(1)13(1)2005naandn，解得669n．答案：C[数列]2|10例5首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是_____．解析：由题意可知91000aa，所以118248092490addadd，解得833d．答案：8[3,)34．等差数列的性质（1）等差数列{}na的第m项为ma，则()nmaanmd．★例如：8123107652aadadadad．（2）若mnpq，则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa．★例如：1928374652aaaaaaaaa，12132nnnaaaaaa．（3）下标成等差数列且公差为m的项ka,kma,2kma,组成公差为md的等差数列．例如：135721,,,,,,naaaaa组成公差为2d的等差数列；51015205,,,,,,naaaaa组成公差为5d的等差数列．（4）{}na是公差为d的等差数列，则{}nkab也是等差数列，公差为kd．（5）{}na,{}nb都是等差数列，则{}nnab,{}nnpaqb也是等差数列．例6在等差数列{}na中，22a，34a，则10a（）A．12B．14C．16D．18解析：公差322daa，102(102)28218aad．答案：D例7在等差数列{}na中，12a，3510aa，则7a（）A．5B．8C．10D．14解析：1735aaaa，71028a．答案：B例8在等差数列{}na中，34512aaa，那么127aaa（）A．14B．21C．28D．35解析：3454312aaaa，得44a，则1274728aaaa．答案：C[数列]3|10例9等差数列{}na满足23418aaa，23466aaa，求{}na通项公式．解析：2343318aaaa，得36a，设公差为d则234333()()aaaadaad2(6)6(6)6(36)66ddd解得5d，又3(3)naand当5d时，59nan，当5d时，521nan．答案：59nan或521nan5．判断一个数列是等差数列的方法（1）定义法：1nnaad（常数）．（2）等差中项法：122++=+nnnaaa或112-+=+nnnaaa．★（3）通项公式法：=naknb（公差为k）．（4）前n项和公式法：2nSAnBn（不含常数项的二次函数）．★例10在数列{}na中，已知11a，122nnnaaa，求证1{}na是等差数列．证明：122nnnaaa两边取倒数得1211122nnnnaaaa，即11112nnaa故1{}na是首项111a，公差12d的等差数列．例11已知数列{}na的通项公式为naknb，那么这个数列一定是等差数列吗？解析：1(1)()nnaaknbknbk，是一个与n无关的常数{}na是公差为k的等差数列．例12已知正项数列{}na中，11a，22a，222112(2)nnnaaan，则6a____．解析：由222112(2)nnnaaan可知2{}na为等差数列211a，224a，公差3d则22613(61)16aa，64a．答案：4[数列]4|10例13已知数列{}na的前n项和为nS，且满足112a，12(2)nnnaSSn．（1）求证：数列1{}nS是等差数列；（2）求nS和na．（1）证明：由递推关系，可知0nS，当2n时，112nnnnnaSSSS两边同除以1nnSS得1112nnSS故1{}nS是首项为11112Sa，公差为2的等差数列．（2）解析：由（1）知122(1)2nnnS，所以12nSn当2n时，112(1)nnnaSSnn，112a不适合上式故1(1)21(2)2(1)nnannn．练习题：1数列33nan，证明{}na是等差数列．2等差数列{}na中，若23a，47a，则6a（）A．11B．7C．3D．23数列{}na中，12a，12nnaa，则8a（）A．16B．12C．12D．164数列{}na中，32a，71a，若1{}na为等差数列，则5a（）A．23B．32C．43D．345等差数列{}na中，22a，3516aa，则na______．6递增的等差数列{}na满足11a，2324aa，则na______．[数列]5|107等差数列{}na中，13a，2414aa，2019na，则n______．8首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是______．9在等差数列{}na中，4a，12a是方程2310xx的两根，则8a（）A．32B．32C．32D．不能确定10{}na为等差数列，若1598aaa，则28cos()aa（）A．12B．32C．12D．3211{}na是等差数列，且14745aaa，25839aaa，则369aaa（）A．24B．27C．30D．3312等差数列{}na中，若3456745aaaaa，则28aa_____．13等差数列{}na中，34512aaa，那么1237aaaa（）A．35B．28C．21D．1414等差数列{}na中，1353aaa，67a，则{}na的通项公式为______．15设{}na是公差为正数的等差数列，若12318aaa，123120aaa，则3a_____．16在等差数列{}na中，已知295aa，则573aa的值为_____．17等差数列{}na中，若4681012120aaaaa，则91012aa的值为（）A．10B．11C．12D．1418等差数列{}na前17项和1751S，则5791113aaaaa（）A．3B．6C．17D．5119等差数列{}na前n项和为nS，且55Sa，若40a，则74aa_____．20《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的7倍，则最少的那份面包数是______．21成等差数列的三个数的和为24，第二个数与第三个数之积为40，求这三个数．[数列]6|1022《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）升．A．1B．6766C．4744D．373323已知数列{}na满足11a，121nnnaaa，则100a（）A．1100B．1299C．1200D．119924已知数列{}na满足1120nnnnaaaa，且11a，则{}na的通项公式为（）A．21nnB．12nC．121nD．2n25已知数列{}na中，32a，71a，若1{}1na为等差数列，则19a（）A．0B．12C．23D．226已知数列{}na满足10a，1211nnnaaa，则13a（）A．143B．156C．168D．195答案解析：1解析：用定义法，1[33(1)](33)3nnaann即数列每一项与前一项的差为定值3所以{}na是公差为3的等差数列．2解析：4a为2a和6a的等差中项，则4262aaa，即6143a，611a．答案：A3解析：由条件知12nnaa，故数列为首项为2，公差为2的等差数列，81712aad．答案：B[数列]7|104解析：由条件知73114daa，带入解得18d故5311324daa，543a．答案：C5解析：由条件得11122416adadad，解得113ad，故34nan．答案：34n6解析：由2324aa可得211(2)()4adad，解得2d又数列是递增数列，则2d，所以1(1)21naandn．答案：21n7解析：由13a，11214adad联立解得2d1(1)21naandn2019，解得1009n．答案：10098解析：设公差为d，则100a，90a，解得833d．答案：8(,3]39解析：由韦达定理可知4123aa，又41282aaa，832a．答案：B10解析：1952aaa，159538aaaa19163aa，28cos()aa161cos32．答案：A11解析：由条件知44345,15aa，55339,13aa等差数列的公差为2，456,,aaa成等差数列则613211a，3696333aaaa．答案：D[数列]8|1012解析：34567374655555()()22545aaaaaaaaaaaaaa59a，则285218aaa．答案：1813解析：3454312aaaa，得44a，12374728aaaaa．答案：B14解析：135333aaaa，31a，6336aad，得2d3naa(3)12(3)25ndnn．答案：25nan15解析：12318aaa，123120aaa26a，1320aa，1312aa解得32a或310a，因为公差为正，故310a．答案：1016解析：291295aaad，571134182(29)2510aaadad．答案：1017解析：468101285120aaaaaa，得824a9101182aaad11(9)2ad1811(7)1222ada．答案：C18解析：171