极限存在准则-两个重要极限

第二章三、两个重要极限二、极限存在准则§2.5极限存在准则两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系定理10lim()xxfxA的充分必要条件是：对任意数列{xn}，xn≠x0，当xn→x0(n→∞)时，都有lim().nnfxA定理1经常被用于证明某些极限不存在.例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列12πnxn及π212πnxn显然当n→∞时，xn→0,1limsinnnx1limsinnnx由定理1知不存在.),2,1(nlimsin2πnn2limsin(2π)nn0.nx01(1)()()();gxfxhx定理2(两边夹法则)如果函数g(x),f(x),h(x)满足：(2)lim()lim()xXxXgxhxa二、极限存在准则lim().xXfxa则例2.证明证:利用两边夹法则.222111π2ππnnnnn22πnn且22limπnnn2π1lim1nn1limnn222111π2ππnnnn1由g(n)h(n)定理3（收敛准则Ⅰ）定理4（收敛准则Ⅱ）单调递减且有下界的数列必有极限．单调递增且有上界的数列必有极限．单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限lim()nnxaMlim()nnxbm(证明略)ab例3已知数列nx满足：112,2(2,3).nnxxxn证明数列收敛．nx证先用数学归纳法证明2,(1,2,).nxn（1）当n=1时，122,x结论成立．（2）当n=k时，xk2,则12kkxx.222由数学归纳法知xn≤2.再证明该数列单调递增．2,(1,2,)nxn21111,,(1,2,)24nnnxx12nnnnxxxx2112nnxx,1121421,(1,2,)nnxxn由定理2知数列收敛．112,2(2,3).nnxxxn令lim,nnxa则1limlim2nnnnxx2aa22aa220aa2a故极限存在，备用题1.设11()2nnnaxxx(1,2,)n0,a10,x,且求lim.nnx解：设limnnxA则由递推公式有1()2aAAAAa11()2nnnaxxxnxnaxa1nnxx21(1)2nax1(1)2aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nxπ2sinsin(0)cosxxxxxsincos1xxx圆扇形AOB的面积证:当即12sinx12tanx亦即π2(0,)x时，π2(0)x显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积OBAx1DC1sinx同乘以三、两个重要极限为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：lim()0x(1)limcos()1;xsin()(2)lim1.()xx(,0)2x时，xt例4.求解:0tanlimxxx0sin1limcosxxxx0sinlimxxx01limcosxx=1111例5.求解:令arcsin,tx则sin,xt因此0limsintttsintt1类似可证xOt12-12arcsintx12例6.求解:原式=22202sinlimxxx211222202sinlim44xxx2cos212sin22sin1cos22022sinlimxxx2.我们可以通过列出函数11xyx的部分取值列表来观察该函数值的变化趋势．xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827……xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.71828……11xyx的值无限接近于一个常数2.718281828459045e由此可得:=1100lim(1)lim(1)ezxzxzx令z=1/x,则x→∞时，z→0，为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：lim()0x1()lim1();xxelim0fxAlimgxB()lim()gxfx.BA例6.求解:令,tx则1lim(1)ttt1limt说明：若利用1()()0lim(1())e,xxx则原式111lim(1)exxx解:原式=2211lim[(sincos)]xxxx22lim(1sin)xxx2(1sin)xe21sinx例7.求例8求1lim.1xxxx解1lim1xxxx1lim1(1)1xxxx2lim11xxx21122lim11xxxxx122limlim211xxxxx211212limlim111xxxxxxxxxe2.的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在;法1找一个数列:nx,0xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法2找两个趋于0xnx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.(2)函数极限存在的两边夹法则;(3)单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限2.两个重要极限思考与练习填空题(1～4)sin1.lim_____;xxx0sin2.lim____;xxx013.limsin____;xxx14.limsin____;xxx0101P34,练习2.42（6）22lim().xxxxx解原式22()xxxxlimx22()xxxx22()xxxx222=xxxxx222=xxxxxxlimxlimx22222=xxxxxx11112=xxlimxlimx2==1.1+1P40,练习2.52（7）011limln1xxxx解原式12011limln1xxxx1201limln1xxxx1201limln1(1)1xxxx1202limln11xxxx1202limln11xxxxx11x1lne=1.P40,练习2.52（8）2211limsin31xxxx解原式21sin121lim(31)xxxxxx21sin121limlim(31)xxxxxxx21sin11312limlimxxxxxxx21sin1112limlim3xxxxxx221.33P40,练习2.52（9）tan24lim(tan)xxx解原式22tan1tan4lim(1(tan1))xxxx1tan14lim[1(tan1)]xxx22tan(tan1)1tanxxx1tan14lim[1(tan1)]xxx2tan1tanxx21111ee.