《线性代数》电子教程15(2)(二次型标准化)

1《线性代数》电子教案之十六2主要内容第十四讲二次型二次型的概念，二次型的秩，二次型的矩阵表示式等概念；二次型的标准形，合同矩阵，用正交变换将二次型化为标准形的方法和步骤；配方法化二次型为标准形的方法，惯性定理；二次型的正定性，正定二次型的性质与判别法.3基本要求熟悉二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩，掌握用正交变换把二次型化为标准形的方法；会用配方法化二次型为标准形(规范形)，知道惯性定理.知道二次型的正定性及其判别法.4一、二次型的概念第五节二次型及其标准形1.概念的引入122cybxyaxxy'x'y1''22nymxcos'sin'sin'cos'yxxyxx1''22nymx122cybxyax52.二次型的定义定义含有个变量的二次齐次函数nxxx,,,21),,,(21nxxxf222222111nnnxaxaxa21122xxa31132xxa32232xxannnnxxa1,12称为二次型.当系数为复数时，称为复二次型；当系ijaf数为实数时，称为实二次型.ijaf63.二次型的矩阵表示式令，则ijjiaaf2332211nnnnnnnnnxaxxaxxaxxannxxaxxaxaxxa22322322221221nnxxaxxaxxaxa11311321122111nnxxaxaxxaxxa33233323321331于是7f)(332211nnnnnnnxaxaxaxax)(23232221212nnxaxaxaxax)(13132121111nnxaxaxaxax)(33332321313nnxaxaxaxaxninjjiijxxa118f),,,(21nxxx),,,(21nxxxnnnnnnaaaaaaaaa212222111211,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa221122221211212111记nxxx21nxxxx219则,AxxfT其中为对称阵：.AAAT——二次型的矩阵表示式说明对称阵与二次型一一对应；若，AxxfT)(AAT二次型的矩阵满足：A⑴的对角元是的系数；Aiia2ix⑵的元是系数的一半.A)(),(jijijixxAffA则对称阵称为二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；10例如二次型.4322yzxyzxf的矩阵为f301A22002121于是.3002021),,(2121zyxzyxf11二、二次型的标准形概念二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换，使Pyx)(xfninjjiijxxa11Cyx这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.ik0,1,1.)(2222211nnykykykCyf标准形的矩阵是对角阵.12三、化二次型为标准型1.经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：AxxfTCyxByyfT因为有AxxfT)()(CyACyT,)(yACCyTT所以与的关系为：AB.ACCBT132.矩阵的合同关系定义设和是阶矩阵，nAB若有可逆矩阵，使C,ACCBT则称矩阵与合同.AB说明合同关系是一个等价关系.设与合同，若是对称阵，则也对称阵.ABAB对称阵一定合同相似与一个对角阵.若与合同，则.)()(BRARAB经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.CyxAAACCT14把二次型化成标准形相当于把对称阵用合同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，A3.化二次型为标准形对二次型作可逆变换，AxxfTCyx相当于对对称阵作合同变换；A即寻找可逆阵,使.CACCT),,,(21nkkkdiag定理8任给二次型,总)(AAAxxfTT,2222211nnyyyf其中是的矩阵的特征值.n,,,21fA即任何二次型都可用正交变换化为标准形.存在正交变换，使化为标准形fPyx15推论任给二次型，总)(AAAxxfTT有可逆变换，使为规范形.Czx)(Czf即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：证明⑴写出二次型的矩阵；A⑵求出的特征值；A⑶求出的两两正交的单位特征向量；A⑷用表示在中⑶求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.PPyx16例1已知二次型,22223),,(222zxxyzyxzyxf用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵.f解析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.⑴写出二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵为f201021113A17⑵求的特征值A201021113EA20102201313cc32rr)4)(2)(1(由，求得的特征值为0EAA,11,22.43例1解答18⑶求的两两正交的单位特征向量A例1解答对应，解方程，由110)(xEA101011112EAr,000110101得基础解系为,1111将其单位化，得;111311p19例1解答对应，解方程，由220)2(xEA0010011112EAr,000110001得基础解系为,1102将其单位化，得;110212p20例1解答对应，解方程，由430)4(xEA2010211114EAr,000110201得基础解系为,1123将其单位化，得.112613p21例1解答⑷写出正交矩阵和二次型的标准形令矩阵61213161213162031),,(321pppP则为正交阵，于是，经正交变换P'''zyxPzyx原二次型化为标准形.'4'2'222zyxf22例2已知二次型的秩为2.32312123222166255xxxxxxaxxxf⑴求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；a⑵指出表示何种曲面.1),,(321xxxf解⑴二次型的矩阵faA33351315r300120351a因为的秩为2，f所以的秩也为2，因而A.3a23例2解答当时，的特征多项式为A3a333351315EA21rr)4(1r333351011)4(363361001)4(),9)(4(24例2解答于是，的特征值为A,01,42.93⑵由定理8知，必存在正交变换,321321yyyPxxx其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型P于是，曲面1),,(321xxxf1),,(321yyyg.1942322yy这表示准线是平面上椭圆、母线平行于轴的椭圆柱面.32Oyy1y321,,yyy在新变量下称为标准形.942322yyf251y2y3y1x2x3x166255323121232221xxxxxxaxxx1942322yy321321yyyPxxx26一、情形1第六节配方法的系数21x011a例3用拉格朗日配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准形，并求所用的变换矩阵.解322322312121652)22(xxxxxxxxxf3223222321652)(xxxxxxx3223222xxxx322322232144)(xxxxxxx2322321232323223212332222321)2()(44)2()(4)4()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxx27用到的线性变换为.,2,333223211xyxxyxxxy即2322321232323223212332222321)2()(44)2()(4)4()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.,2,333223211yxyyxyyyx28321321100210111yyyxxx所用的变换矩阵为于是，的标准形为f;2221yyf,100210111C).01(C29二、情形2的系数21x011a例4用拉格朗日配方法化二次型323121622xxxxxxf成规范形，并求所用的变换矩阵.解3213212121)(6)(2))((2yyyyyyyyyyf先用下面可逆变换，使二次型中.011a.,,33211211yxyyxyyx即321321100011011yyyxxx323122218422yyyyyy303216161212163212132100wwwxxx所用的变换矩阵为因此，的规范形为f).0(61C;232221wwwf,0061612121632121C31三、惯性定理定理9(惯性定理)设有二次型，它AxxfT的秩为，有两个可逆变换rCyx及Pzx使,2222211rrykykykf及,2222211rryyyf),0(ik),0(i则rkkk,,,21正数的个数相等.中正数的个数与r,,,21中32说明二次型的标准形正系数的个数称为二次型的负系数的个数称为负惯性指数.正惯性指数；若二次型的正惯性指数为，秩为，则fpr的规范形变可确定为f.221221rppyyyyf只有用正交变换把二次型化为标准形，标准形的系数才是二次型矩阵的特征值.33例5下列矩阵中，与矩阵100012021A合同的矩阵是哪一个？为什么？;111)(A;111)(B;111)(C;111)(D34解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.容易求得的特征值，A3,1,1321于是可知，所对应的二次型的正惯性指数A2p1q为；负惯性指数为.合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选(B).应选(B)，理由是:35一、正定二次型的概念第七节正定二次型定义设有二次型，)(AAAxxfTT⑴如果对任何，都有0x0)(xf0x0)(xf⑵如果对任何，都有，则称为负定二次