2013山东高考数学二轮复习 专题二 函数与导数：1-2-2第二讲 函数与方程及函数的应用

第二讲函数与方程及函数的应用•确定函数零点存在区间及个数的常用方法•(1)利用零点存在的判定定理；•(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解．•[例1](2012年高考湖北卷)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为()•A．4B．5•C．6D．7•[解析]根据x2的范围判断y＝cosx2在区间[0，4]上的零点个数．•当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因为5π1611π2，所以函数y＝cosx2在x2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6.[答案]C(2012年保定摸底)函数f(x)＝3cosπx2－log12x的零点的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：把求函数f(x)的零点的个数问题转化为求函数y＝3cosπ2x的图象与函数y＝log12x的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．函数y＝3cosπ2x的最小正周期是4，当x＝8时，y＝log128＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)＝3cosπx2－log12x有5个零点．答案：D•应用函数零点求参数值或取值范围的方法•(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；•(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．•[解析]先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．•根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋1（x1或x－1），－x－1（－1≤x1）.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点．[答案](0，1)∪(1，4)[例2](2012年高考天津卷)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．•已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．•解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即方程a＝2x－ex有解．•令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，•令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，•所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.•因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，•即a∈(－∞，2ln2－2]．•答案：(－∞，2ln2－2]•1．常见模型：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型．•2．对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．•[例3](2012年高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．•(1)求炮的最大射程；•(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解析](1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．•2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50000元；使用中每年的固定保养费为6000元；前x年的总保养费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总保养费为1000元，前两年的总保养费为3000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．解析：由题意，得1000＝a＋b3000＝4a＋2b，解得a＝500b＝500，所以y＝500x2＋500x.设该设备的年平均消耗费用为f(x)，由题意，可知年平均消耗费用为f(x)＝50000x＋6000＋500x＋500＝500x＋50000x＋6500≥16500，当且仅当500x＝50000x时，等号成立，此时x＝10，所以最佳使用年限为10年．答案：10•【真题】(2012年高考福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．•【解析】根据新定义写出•f(x)的解析式，数形结合求出m的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解．•由定义可知，f(x)＝（2x－1）x，x≤0，－（x－1）x，x0.作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0m14时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x2x3，易知x20，且x2＋x3＝2×12＝1，∴x2x314.•【名师点睛】本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力．解答本题的关键在于数形结合确定m的取值范围．令（2x－1）x＝14，x0，解得x＝1－34或x＝1＋34(舍去)．∴1－34x10，∴1－316x1x2x30.【答案】(1－316，0)•高考对函数与方程及应用的考查多以选择、填空形式出现，主要有两个方面：一是判断零点个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题，着重考查等价转化、数形结合思想的运用，难度中档以上．•【答案】C【押题】设函数f(x)的零点为x1，函数g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|14，则f(x)可以是()A．f(x)＝2x－12B．f(x)＝－x2＋x－14C．f(x)＝1－10xD．f(x)＝ln(8x－2)【解析】依题意得g(14)＝2＋12－20，g(12)＝10，∴x2∈(14，12)．若f(x)＝1－10x，则有x1＝0，此时|x1－x2|14，因此选C.本小节结束请按ESC键返回