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22.3实际问题与二次函数问题:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l的值.矩形场地的周长是60m,一边长为l,则另一边长为m,场地的面积:S=l(30-l)即S=-l2+30l.(0l30)60(l)2请同学们画出此函数的图象探究1可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是函数图象的最高点,也就是说,当l取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.51015202530100200ls时因此,当15)1(2302abl.225)1(4304422abacS有最大值即l是15m时,场地的面积S最大.(S=225㎡)O一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值.abx2abac442问题1.已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价为多少元?分析:没调价之前商场一周的利润为元;设销售单价上调了x元,那么每件商品的利润可表示为元,每周的销售量可表示为件,一周的利润可表示为元,要想获得6090元利润可列方程。6000(20+x)(300-10x)(20+x)(300-10x)(20+x)(300-10x)=6090探究2已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价为多少元?若设销售单价x元,那么每件商品的利润可表示为元,每周的销售量可表示为件,一周的利润可表示为元,要想获得6090元利润可列方程.(x-40)[300-10(x-60)](x-40)[300-10(x-60)](x-40)[300-10(x-60)]=6090问题2.已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价一元,每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润?问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每降价一元,每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大?问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价一元,每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大?请同学们带着以下几个问题读题(1)题目中有几种调整价格的方法?(2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是自变量?哪些量随之发生了变化?分析:调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式.涨价x元,则每星期少卖件,实际卖出件,每件利润为元,因此,所得利润为元.10x(300-10x)(60+x-40)(60+x-40)(300-10x)y=(60+x-40)(300-10x)(0≤x≤30)即y=-10(x-5)2+6250∴当x=5时,y最大值=6250怎样确定x的取值范围解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x)+6000=-10[(x-5)2-25]+6000=-10(x-5)2+6250当x=5时,y的最大值是6250.定价:60+5=65(元)(0≤x≤30)解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x2-5x-300)=-20(x-2.5)2+6125(0≤x≤20)所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.答:综合以上两种情况,定价为65元时可获得最大利润为6250元.由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围2bx5y1051005600062502a最大值时,可以看出,这个函数的图像是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是函数图像的最高点,也就是说当x取顶点坐标的横坐标时,这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.元\x元\y625060005300所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元也可以这样求极值(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.解决这类题目的一般步骤解一解二解三探究3图中是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度增加了多少?l继续解一以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为轴,建立平面直角坐标系,如图所示.y∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2axy当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)22a25.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2x5.0y当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:2x5.036xm62这时水面宽度为∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(返回解二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.当拱桥离水面2m时,水面宽4m即:抛物线过点(2,0)22a025.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2x5.0y2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:2x5.0126xm62这时水面宽度为∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2axy2此时,抛物线的顶点为(0,2)返回解三如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2)2x(ay2∵抛物线过点(0,0)2)2(a025.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2)2x(5.0y2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:2)2x(5.01262x,62x21m62xx12∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(此时,抛物线的顶点为(2,2)∴这时水面的宽度为:返回例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为4.4axy2∵抛物线过A(-2,0)04.4a41.1a∴抛物线所表示的二次函数为4.4x1.1y27.2816.24.42.11.1y2.1x2时,当∴汽车能顺利经过大门.
本文标题:2014新人教版_九年级数学上册_22.3.实际问题_与二次函数_
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