数模(差分方程模型)1.ppt概要

重庆邮电大学市级精品课程------数学建模数学建模电子教案重庆邮电大学数理学院沈世云[e-mail]重庆邮电大学市级精品课程------数学建模差分方程模型重庆邮电大学数理学院沈世云重庆邮电大学市级精品课程------数学建模7.1差分方程基本知识7.2市场经济中的蛛网模型7.3减肥计划——节食与运动7.4差分形式的阻滞增长模型7.5按年龄分组的种群增长第七章差分方程模型重庆邮电大学市级精品课程------数学建模7.1差分方程基本知识•1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。•差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。重庆邮电大学市级精品课程------数学建模Fibonacci数列问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…总数1123581321…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模将兔群总数记为fn,n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn}满足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱2.钢琴音阶的排列3.树的分枝4.杨辉三角形重庆邮电大学市级精品课程------数学建模日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模2.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模3.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模一阶线性差分方程在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式.将它们写成统一的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,…称此类递推关系为一阶线性差分方程.当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.定义1对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下：a1=a2-a1,a2=a3-a2,…an=an+1-an,…定义2对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二阶差分,记为2A=(A).即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般地，可以定义n阶差分.重庆邮电大学市级精品课程------数学建模差分方程an+1=an+b的解定理1一阶线性差分方程an+1=an+b的通解是：定理2对一阶线性差分方程an+1=an+b,若||1,则an无限趋近于平衡解b/(1-)(收敛型不动点);若||1,则an逐渐远离平衡解b/(1-)(发散型不动点)..1,1,1,bccnbann重庆邮电大学市级精品课程------数学建模0)(....)()(110tnntntxtaxtaxta则被称为方程对应的齐次线性差分方程。若所有的ai(t)均为与t无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成)(...110tbxaxaxatntntn（7.1）的形式，其对应的齐次方程为0...110tntntnxaxaxa（7.2）)2(2)1(1tttxcxcx)1(tx)2(tx容易证明，若序列与均为方程（7.2）的解，则也是方程（7.2）的解，其中c1、c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。此规律对于（7.1）也成立。重庆邮电大学市级精品课程------数学建模方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程0...110nnnaaa（7.3）（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(7.2）的通解情况1若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根1,…,n，则齐次方程（7.2）的通解为tnntCC...11(C1,…,Cn为任意常数)，iC情况2若λ是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应于λ的项为tkktCC)(11为任意常数，i=1,…,k。情况3若特征方程（7.3）有单重复根ia通解中对应它们的项为ttttsinCcosC2122为λ的模，arctan为λ的幅角。重庆邮电大学市级精品课程------数学建模情况4若ia为特征方程（7.3）的k重复根，则通解对应于它们的项为tttttktksin)CC(cos)CC(12k1k1k1iC为任意常数，i=1,…,2k。ty.若yt为方程(7.2)的通解,则非齐次方程(7.1)的通解为（步三）求非齐次方程(7.1)的一个特解ttyy求非齐次方程（7.1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。重庆邮电大学市级精品课程------数学建模0)(6)1(5)2(nynyny初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。例2.系统的差分方程特征根为.3,221nnhCCny)3()2()(21于是由初始条件212)0(CCy21323)1(CCy解得：1,321CC故齐次解nnhny3)2(3)(0)3)(2(652解：特征方程为重庆邮电大学市级精品课程------数学建模2、特解特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。（1）自由项为nk的多项式1不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1是K重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny重庆邮电大学市级精品课程------数学建模（2）自由项为na不是特征根，则特解anpDany)(是特征单根，则特解anpaDnDny)()(21是k重特征根，则特解ankkkpaDnDnDny)()(1121重庆邮电大学市级精品课程------数学建模（3）自由项为正弦或余弦表达式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4）自由项为正弦)cossin(0201nAnAn不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp是特征根0je重庆邮电大学市级精品课程------数学建模例3：求下示差分方程的完全解)1()()1(2)(nxnxnyny其中激励函数，且已知2)(nnx1)1(y解：特征方程：022齐次通解：nc)2(将代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx设特解为形式，代入方程得21DnD重庆邮电大学市级精品课程------数学建模模型1种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为nP，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：nncPP1，这是一种简单模型；重庆邮电大学市级精品课程------数学建模如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21nnpp221np，故减少数应当与它成正比，从而有:21nnnbPcPP这个模型可化成：)1(1nnnxxx，这是一阶非线性差分方程重庆邮电大学市级精品课程------数学建模日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模2.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模家庭教育基金模型的解由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…得通解:将a0=x,=1+r,b=x代入,得c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1(,1)1(11将a18=100000,r=0.03代入计算出x=3981.39.重庆邮电大学市级精品课程------数学建模3.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…重庆邮电大学市级精品课程------数学建模购房抵押贷款模型的解由a0=200000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,