七升八暑假数学衔接学习讲义

1观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A与D重合，它们是对应角.△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.ABCDEFA(D)B(E)C(F)全等三角形的对应边，对应角。全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。几何语言：∵△ABC≌△DEF（已知）∴AB=，AC=，BC=（）∠A=,∠C=，∠B=.（）2练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，求DE的长。解：3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2全等三角形的周长相等.（）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（）○4全等三角形的面积相等.（）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（）4.填空：如图所示，已知△AOB≌△COD，∠C=∠A,AB=CD,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。5.如图3，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E,△ABE≌△ACD，∠C=20°,AB=10，AD=4，G为AB延长线上的一点，求∠ABE的度数和CE的长.ADBEC(图7)BAEC(图6)AECFDBGACDBO3二、三角形的判定定理：边角边公理定理：两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为边角边，符号表示：SAS例1.下列哪组三角形能完全重合（全等）？例2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．这两个三角形全等吗?例3.在△ABC和△A′B′C′中（自己画图）(1)CBBCBBBAAB(2)______AABAAB∴CBAABC(SAS)∴CBAABC()(3)CBBCCAAC____∴CBAABC()练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．4(第1题)2．如图2，△AOB和△COD全等吗？为什么？3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．4.如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，证明：△ABC≌△CDA.5.如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，证明：△ABD≌ACE.6.如图，已知AB=AC，AE=AD，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.5ADCBFEADCBE7.已知：AD∥BC，AD＝CB(如图)．现有条件能证明△ADC≌△CBA吗？如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？练习21.已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证：△ACB≌△ADB2.已知：AD∥BC，AD=CB求证：△ADC≌△CBA3.已知：AD∥BC，AD=CB，AE=CF求证：△AFD≌△CEB4.已知：EA=EC，ED=EB，求证：△AED≌△CEB6ADCBFEADCBE125.已知：AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，FD⊥AD，求证：△EAB≌△FDC6.已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为角边角，符号表示：ASA例1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE.例3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF.7例4.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.练习：1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS”，说明△AOB≌△DOC2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：△ABE≌△ACDABCDoDBEAOC83.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD4.如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是多少？四、三角形的判定定理：角角边定理定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为角角边，符号表示：AAS例1.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠BDC=∠CEB，求证：BE=CD．例2.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC.试证明AD=CB.ＡDFCBE9ABCDEF例3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CFAB∥．求证：ADCF．例4.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证:△ABD≌△AED.练习1：1.如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E。求证：AD=AE2．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD3．已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明理由104．如图，AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC5．如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE。6.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE求证；AB=AC，AD=AE；练习2：1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（）A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．无法确定第1题第2题2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）A．120°B.70°C.60°D.50°.3．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为______________________，对应边分别为_____________________.DCABADBCO第3题EDCBA第4题114.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD,还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）5.如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.6.如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。五、三角形的判定定理：边边边公理定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“SSS”例1.如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OCOFEDCBAABCDE12DCBA例2.如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF例3.如图，AB=CD，BE=DF,AF=CE,求证：BE∥DF练习1：1.如图，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，根据(S、S、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。第1题第2题2.已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。133.已知：如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．4.△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C（自己画图）练习2：1．在△ABC和△A’B’C’中,AB=A’B’,∠B=∠B’,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’,则补充的这个条件是()A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对3．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；D.∠C＝90°，AB＝64．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12°，则这个三角形是＿＿三角形．5．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿．6．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿EDBCA14＿＿＿．7．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．8．已知，如图，D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证：AD=CF．9.如图，ABC为等边三角形，点,MN分别在,BCAC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。9．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，∴△AEB≌△AEC……第一步∴∠BAE=∠CAE……第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．六、勾股定理一.观察:【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？EABDFCCABDE15二.体会:1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系?如果存在，那么它们的关系是什么？3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢？请写出你发现的规律.三.思考:勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案,你能从中说出勾股定理的推导过程吗?1.以a、b为直角边，c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形．162.用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形．3．用二种方法分割边长为a+b的正方形.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90o，∴a2+b2=c2四．练习1:1、判断题（1)若a、b、c是三角形的三边，则222abc.（）(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.（）2、求下列直角三角形中未知边的长．173．下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少？(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)4．受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?5．如图，在四边形A