培优补差数列与线性规划应用练习

试卷第1页，总2页培优补差数列与线性规划应用练习一、解答题1．（本小题满分12分）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，22nnaa=43nS.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列{nb}的前n项和.2．已知数列na的各项为正数，其前n项和nS满足212nnaS.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设1111nnnbaa，求数列nb的前n项的和nT；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若245nmmT对一切*nN恒成立，求实数m的取值范围.3．数列na的前n项和为nS，且1nSnn，*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足：122313131nnnbbba，求数列nb的通项公式；（3）令*,4nnnabcnN，求数列nc的前n项和nT.试卷第2页，总2页4．本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C种玩具至少生产20个，每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如表：玩具名称ABC工时（分钟）574利润（元）563（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具y表示每天的利润（元）；（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？5．某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要100米，铁丝300米，设该厂用所有原来编制个花篮x，y个花盆.（Ⅰ）列出,xy满足的关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？答案第1页，总5页参考答案1．（Ⅰ）21n（Ⅱ）11646n【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{na}的递推公式，可以判断数列{na}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{na}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{nb}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.试题解析：（Ⅰ）当1n时，211112434+3aaSa，因为0na，所以1a=3，当2n时，2211nnnnaaaa=14343nnSS=4na，即111()()2()nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以1nnaa=2，所以数列{na}是首项为3，公差为2的等差数列，所以na=21n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nb=1111()(21)(23)22123nnnn，所以数列{nb}前n项和为12nbbb=1111111[()()()]235572123nn=11646n.考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法2．(1)21nan;(2)nT=41nn；（3）5542m.【解析】试题分析：（1）由前n项和nS满足212nnaS，可以再写一项作差22111122nnnnnaaaSS，整理得到通项。（2）由（Ⅰ）知，21nan.则111111141nnnbaann，裂项求和，得到和；（3）有第二问得到nT=41nn，将该式子做差和零比1nnTT10412nn，研究该式子的单调性，求最值。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总5页（1）当1n时，21111112aaSa.当2n时，22111122nnnnnaaaSS化简得12nnaa，所以21nan；（2）由（Ⅰ）知，21nan.则1111111122241nnnbaannnn所以111111142231nTnn1114141nnn（3）114241nnnnTTnn10412nn，∴nT单调递增，∴118nTT.∵1414nnTn，∴1184nT，使得245nmmT恒成立，只需145{2148mm解之得5542m.3．解：（Ⅰ）当1n时，112aS，当2n时，1112nnnaSSnnnnn，知12a满足该式，∴数列na的通项公式为2nan．····················2分（Ⅱ）3122331313131nnnbbbba（1n）①∴311212313131313131nnnnnbbbbba②·········4分②－①得：111231nnnnbaa，11231nnb，故231nnb（*nN）．·······················6分答案第3页，总5页（Ⅲ）4nnnabc313nnnnn，∴123nnTcccc23132333312nnn···8分令231323333nnHn，①则234131323333nnHn②Ks5u①－②得：231233333nnnHn1313313nnn∴121334nnnH，…………………………10分∴数列nc的前n项和12133142nnnnnT…………12分【解析】【试题分析】（１）借助题设中的数列递推关系式直接分析求解；（２）依据题设条件借助数列递推关系求解；（３）依据题设条件运用错位相减法分析求解：（Ⅰ）当1n时，112aS；当2n时，12nnnaSSn，知12a满足该式，∴数列na的通项公式为2nan．（Ⅱ）31223131313131nnnbbbban，①3+112+123+13131313131nnnnnbbbbba，②②①得111231nnnnbaa，11231nnb，而18b，故231nnb（*nN）．（Ⅲ）∵3134nnnnnabcnnn，∴123nnTcccc23132333312nnn，令231323333nnHn，③则234131323333nnHn，④③④得，231233333nnnHn1313313nnn，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总5页121334nnnH，∴数列nc的前n项和12133142nnnnnT．4．（I）30023xy；（II）20,{60,xy最大利润为520元.【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助数表中的数据及数据之间的关系，建立二元一次目标函数关系56310030023xyxyxy；（2）借助题设条件建立二元一次不等式组，运用线性规划的知识数形结合，联立方程组分析求出最优解即可，再代入目标函数即可获解：试题解析：（Ⅰ）56310030023xyxyxy．（Ⅱ）10020,{574100600,,,xyxyxyxyN即800,{32000,,.xyxyxyN最优解为800,{32000,xyxy即20,{60,xy∴max300220360520（元）．5．（1）见解析；（2）该厂编制200个花篮,100花盆所获得利润最大,最大利润为8万元.【解析】试题分析：(1)列出x、y满足的关系式为2001005000030030090000{,00xyxyxy„„……,画出不等式组所表示的平面区域即可.(2)设该厂所得利润为z元,写出目标函数,利用目标函数的几何意义,求解目标函数z=300x+200y,所获得利润.试题解析：(1)由已知x、y满足的关系式为2001005000030030090000{,00xyxyxy„„……等价于250033900{,00xyxyxy„„……该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分.答案第5页，总5页(2)设该厂所得利润为z元,则目标函数为z=300x+200y将z=300x+200y变形为32200zyx,这是斜率为32,在y轴上截距为200z、随z变化的一族平行直线.又因为x、y满足约束条件,所以由图可知,当直线32200zyx经过可行域上的点M时,截距200z最大,即z最大.解方程组2500{33900xyxy得点M的坐标为(200,100)且恰为整点,即x=200,y=100.所以,30020020010080000maxz.答：该厂编制200个花篮,100花盆所获得利润最大,最大利润为8万元.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.