高数二下练习题答案完整版(全部)

高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分0axedx（0a）。01axedxa(过程略)2、求瑕积分211xdxx。2211021023/21/2013/21/20lim111lim1112lim1213828=lim2333xdxxdxxxxdxxxx3、求由曲线22yx与4xy所围成图形的面积。22232244282244(4)d(4)18226xxyxyyxyyyySyyy解：或是两交点4、求由曲线1xy和直线xy，2x所围成的平面图形的面积。2113ln22Sxdxx或120111322ln222Sxdxdxx（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线342xxy与其在点)3,0(和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。解：过点)3,0(的切线方程为34yx，而过)0,3(处的切线方程为23yx故求的两切线交点为)3,23(，则所要求图形的面为：3/23221203/29434326434SSSxxxdxxxxdx6、设椭圆的参数方程为2cos,3sinxtyt，求椭圆的面积。解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：20020/2/2443sin2cos83sin23Sydxtdttdt（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在]1,0[上给定函数2xy，问t取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？222233112200322()22()d(1)d()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431ttttOACOADBAAtAtyyyyyyyttAtttAttttAttAtAAAt解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t面积之和最大，当时，面积之和最小。yxtOABDC高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______定积分应用（二）1、求由曲线xy2和2xy围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。解：21220310Vxxdx2、分别求由曲线yx,2yx及x轴所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。解：绕x轴旋转而成的旋转体的体积12222018d(2)d+5315xVxxxx绕y轴旋转而成的旋转体的体积12221005111[(2)]d(4)236yVyyyyyy3、求由曲线2yx和直线2x、0y所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转体的体积。解：图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积222032d5xVxx图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积242024d8yVyy4、求曲线sin((0,))yxxx所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。（参考课本第214页（4）的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）解：图形绕y轴旋转的旋转体体积22000033002d2sind2cos22cosd24sin4sind28Vxfxxxxxxxxxxxxxx5、已知一抛物线过x轴上的两点(1,0),(3,0)AB：（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形1D的面积等于x轴与该抛物线所围图形2D的面积。（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。略。（由于没给出抛物线二次项的系数a，本题大家可以随意选个非零的a来做）6、求由曲线yx,0y，1x所围成的图形绕直线1x旋转而成的旋转体的体积。解：21122400811215Vydyyydy（注意旋转体界面圆的半径是21y）7、设某产品的边际成本2MCx（万元/台）其中x表示产量，固定成本为022C（万元），边际收益204MRx（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。解：（1）总成本函数为200012222222xxCMCdxCxdxxx总收益函数为200204220xxRMRdxxdxxx；（2）由（1），利润函数为2318222RCxx当3180x可求得驻点为6x，而630x，因此当产量x=6台时，获得最利润；（3）106...（略）高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______定积分综合一、选择题1、设函数)(xf在[ba,]上连续，则曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的平面图形的面积等于（C）（A）badxxf)(（B）badxxf)(（C）dxxfba)(（D）)())((baabf2、设401xdxI，402dxxI，403sinxdxI，则(D)（A）321III（B）213III（C）231III（D）312III3、设)(xf连续，10)(2)(dttfxxf，则)(xf(B)（A）x（B）1x（C）2x（D）1x4、下列结果正确的是(B)（A）22(sin)sinbadtdtada（B）22(sin)sinbadtdtbdb（C）22(sin)sinbadtdtxdx（D）22(sin)2sinbadtdtxxdx5、设20222xtfxdttt，则fx在[0,1]上(B)（A）单调增加（B）单调减少（C）有增有减（D）无界6、设)(xf是连续函数，则()()bbaafxdxfabxdx=(A)（A）0（B）1（C）ba（D）badxxf)(7、若)(xf是连续函数且为奇函数，则0()xftdt是(B)（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇既偶函数8、下列反常积分发散的有(C)（A）201dxx（B）1201dxx（C）lnexdxx（D）0xedx9、下列反常积分收敛的有(D)（A）10dxx（B）120dxx（C）10lnxdxx（D）10dxx10、由曲线()yfx，()ygx（()()fxgx，axb）及直线xa，xb所围图形绕x轴旋转而成立体的体积是(B)（A）2[()()]bagxfxdx（B）22[()()]bagxfxdx（C）2()bagxdx（D）[()()]bagxfxdx二、填空题1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：(1)2204xdx=(2)02(1)xdx-42、利用定积分的性质，填写下列各题：(1)6421(1)xdx51(2)331arctanxdxx3、设0()sinxftdtxx，则)(xf=。4、已知)(xf在),(上连续，且2)0(f，且设2sin)()(xxdttfxF，则)0(F-2。5、设()yyx由23cos200cos0xxyttdtedt所确定，则y=。6、设)(xf为连续函数且满足310()xftdtx，则)7(f。7、求下列定积分(1)09912(21)xdx=(2)220cosd12(3)5024xdx13(4)211lnedxxx232(5)844sinxxdx0(6)1lnexdxx12(7)sinxdx=0(8)22cosxdx=220cosxdx8、若反常积分2)(lnkxxdx收敛，k1。9、某厂生产的边际成本函数()134Cxx，且固定成本010C，则总成本函数923sincosxxx22(cos)3cos9sinxyxxe1121200()Cx;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量是。213210xx高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______一阶微分方程1、求0sin)1(cosydyeydxx的通解。解：原方程可化为tan1xxeydydxe积分，得ln|cos|ln(1)xyeC（其中C’为任意常数）令CCe，不难看出C为任意常数，故，方程的通解为cos(1)xyCe（C为任意常数）2、求微分方程042dydyxydx，满足24xy的特解。解：原方程可化为24dydxyx积分得12ln||ln||42xyCx(其中C’为任意常数)即4422Cxyex，令4CCe，不难看出C为任意常数，故原微分方程通解可表示为：422xyCx，其中C为任意常数，当24xy时，163C故满足条件的方程的特解为416(2)3(2)xyx3、求微分方程02)6(2ydxdyxy的通解。解：方程可化为：32dxyxdyy所以332()dydyyyyxeedyC332lnln()yyyeedyC3312()yydyCy233122()yyCCyy4、微分方程022xyyyx的通解。解：当x0时，原微分方程可等价为齐次微分方程12xyxyy设xyu则有dxxduuuu1112对应的通解为Cxuu12即222Cxxyy（其中C为任意常数）当x0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述，微分方程022xyyyx的通解为222Cxxyy（其中C为任意常数）5、求微分方程xyyxy，满足21xy的特解。解：令xyu，则原微分方程变为dxxduuuu111积分得Cxuln22即222yxxC(ln)（其中C为任意常数）由初始条件21xy，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始条件下的特解为2222yxx(ln)6、求微分方程3yyx的通解。解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成dxxdyy11其通解为xCy（其中C为任意常数）由常数变易法，令原微分方程的通解形式为xxCy，则2xxCxxCy，代入原微分方程，得3xC，积分得CxxC3(其中C为任意常数)。于是，所求微分方程的通解为3xCy（其中C为任意常数）7、设)(xf为连续函数，由xxfxdtttf02)()(所确定，求)(xf。解：对积分方程两边求导数得2()()xfxxfx，即2()()fxxfxx且00()f2()()xdxxdxfxexedxC22222()xxexedxC22222()xxeeC222xCe当0x时，0()fx代入上方程得2C故2222()xfxe8、巳知生产某产品的固定成本是0a，生产Q单位的边际成本与平均单位成本之差为：QaaQ，且当产量的数值等于a时，相应的总成本为2a，求总成本C