三角形全等例题+练习(常用方法)

1构造全等三角形几种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。典型例题1．截长补短法例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．ABCDFEG图（1）解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．针对练习：如图4所示，在ABC中，2ACBB，BADDAC，求证：ABACCD。D图4CBAE解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º,∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．针对练习：如图5所示，在ABC中，边BC上的高为AD，又2BC，求证：CDABBD。D图5CBAE2截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥ACCDBA截长补短2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。EDCBA截长补短3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPPQCBA截长补短4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CADCBA截长补短5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PCP21DCBA3典型例题2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．ABCPQDO一题多解：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法”．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．4如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．ABCPQ图（4）DO如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．ABCPQ图（5）DO平移练习1：如图１所示，四边形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DCBC，求证：180BD。D图１ECBA平移练习2：AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.平移练习3：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA5典型例题3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例题3：如图3所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分EAD，求证：BEDFAE。D图3GCBAEF旋转练习1：已知：如图，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．旋转练习2：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.FEDCBA旋转练习3：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。NMEFACBA6旋转练习4：如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；BCDNMA旋转练习5：已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN7典型例题4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．求证：AC=BFEABCDFH针对练习1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.DCBA针对练习2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.EDFCBA针对练习3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA8典型例题5．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º,AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求：△ABC的面积．ABCDEGF针对练习1：如图２所示，已知ABC中，ACBC，90ACB，BD平分ABC，求证：ABBCCD。D图2ECBA