《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修五【配套备课资源】第三章 章末

本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·双基题目、基础更牢固1．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1，a2∈(0,1)，∴a1－10，a2－10，∴M－N0，即MN.B本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·扫描要点、基础更牢固2．在R上定义运算“”：xy＝(1－x)(1＋y)．若不等式(x－a)(x＋a)1对任意的实数x都成立，则()A．－1a1B．－2a0C．0a2D．－32a12解析由题意知，(x－a)⊗(x＋a)＝(1－x＋a)(1＋x＋a)＝(1＋a)2－x21恒成立，即x2(1＋a)2－1恒成立，故只要(1＋a)2－10恒成立，即a2＋2a0，解得－2a0.B本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·扫描要点、基础更牢固3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5D．6解析∵x＋3y＝5xy，∴15y＋35x＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)15y＋35x＝3x5y＋95＋45＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时等号成立．C本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·扫描要点、基础更牢固4．设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．解析作出不等式组的可行域，如图阴影部分，本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·扫描要点、基础更牢固作直线l0：x－2y＝0，在可行域内平移知过点A时，z＝x－2y取得最大值，过点B时，z＝x－2y取得最小值．由x－y＋1＝0，x＋y－3＝0，得B点坐标为(1,2)，由y＝0，x＋y－3＝0，得A点坐标为(3,0)．∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3.∴z∈[－3,3]．答案[－3,3]本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型一分类讨论思想在解含参数不等式中的应用例1解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.分析先求出相应方程的根，再对两根的大小进行讨论．解原不等式可化为(x－1)(ax－1)0.(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋10，∴x1，所以原不等式的解集为{x|x1}；(2)当a0时，原不等式化为(x－1)x－1a0，又1a0，∴x1a或x1，所以原不等式的解集为x|x1a或x1；本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(3)当a0时，原不等式化为(x－1)x－1a0，对应方程(x－1)x－1a＝0的两根为1和1a.①当0a1时，1a1，∴1x1a；②当a＝1时，原不等式可化为(x－1)20，无解；③当a1时，1a1，∴1ax1.综上所述，当a0时，原不等式的解集为x|x1a或x1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x1}；当0a1时，原不等式的解集为x|1x1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为x|1ax1.本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论范围，故能将问题化整为零，各个击破．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－10的解集为R，求实数a的取值范围．解①若a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，不等式变化为－10，解集为R；若a＝－1，不等式变为2x－10，解集为x|x12.∴a＝1时满足条件．②若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是a2－10Δ＝[－a－1]2＋4a2－10.解得－35a1.综上所述，当－35a≤1时，原不等式解集为R.本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型二数形结合思想在线性规划中的应用例2已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2，(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝yx，求z的最大值和最小值．分析x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效解不等式组x＋y－3≥0x－y＋1≥0x≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，得x＝1，y＝2，∴A(1,2)；由x＝2，x＋y－3＝0，得x＝2，y＝1，∴B(2,1)；由x＝2，x－y＋1＝0，得x＝2，y＝3，∴M(2,3)．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大，zmax＝2×2＋3＝7.当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，此时z也最小，zmin＝2×1＋2＝4.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为y＝x，由y＝x，x＋y－3＝0，得x＝32，y＝32，∴N32，32，点N32，32在线段AB上，也在可行域内．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．又OM＝13，ON＝92，即92≤x2＋y2≤13.∴92≤x2＋y2≤13，所以，z的最大值为13，最小值为92.(3)∵kOA＝2，kOB＝12，∴12≤yx≤2，所以z的最大值为2，最小值为12.小结线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的平面区域的面积；(2)b－2a－1的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．解(1)设f(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可得f00f10f20，即2b01＋a＋2b04＋2a＋2b0，∴b0a＋2b＋10a＋b＋20，故a，b满足的约束条件为b0a＋2b＋10a＋b＋20，本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效画出约束条件的可行域如图阴影部分，解a＋2b＋1＝0a＋b＋2＝0，得A(－3,1)．又B(－2,0)，C(－1,0)，故点(a，b)对应的平面区域的面积S＝12×1×1＝12.(2)b－2a－1可看作平面区域内点(a，b)与点D(1,2)连线的斜率，由图知：kCD＝2－01－－1＝1，kAD＝2－11－－3＝14，∴14b－2a－11.(3)(a－1)2＋(b－2)2可看作平面区域内点(a，b)到点D(1,2)的距离d的平方，而由图知CDdAD.∵CD2＝(1＋1)2＋(2－0)2＝8，AD2＝(1＋3)2＋(2－1)2＝17，∴8d217，即(a－1)2＋(b－2)2的值域为(8,17)．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三分离参数法在恒成立问题中的应用例3若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围．分析令2x＝t0，换元后转化为一元二次方程在(0，＋∞)上有实数解．求a的范围，另外若将参数a分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用基本不等式很容易求解．解令2x＝t0，原方程化为t2＋at＋a＋1＝0∴a＝－t2＋11＋t＝－t2－1＋2t＋1＝－t－1＋2t＋1＝－t＋1＋2t＋1－2≤－22＋2.∴a的取值范围是a≤2－22.本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结分离变量法是将不等式中的参数a与未知数x分离出来，得到g(a)≥f(x)或g(a)≤f(x)的形式，将问题转化为求解函数f(x)在给定区间上的最值问题，进而确定参数a的取值范围．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M解析∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤k4＋41＋k2.∵k4＋41＋k2＝1＋k22－21＋k2＋51＋k2＝(1＋k2)＋51＋k2－2≥25－2.∴x≤25－2，∴2∈M,0∈M.A本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效1．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．2．不等式的性质是解(证)不等式的基础，对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的使用条件和结论是推出还是等价．3．不等式ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0的解集就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0或小于0时的x的取值范围，应结合一元二次函数图象去理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为相应方程的实根，也即相应函数的零点．本讲栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效4．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．5．通过近三年的高考试题分布数据我们可以看出：基本不等式是每年高考的热点，主要考查命题的判定、不等式的证明以及求最值等问题．特别是求最值问题往往和实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题．实际上是考查恒等变形的技巧．另外，基本不等式的和与积的转化作用在高考中也经常有所体现．不等式的证明经常与数列、函数等知识相互结合，在解答题中出现，难度一般较大．本讲栏目开关画一画试一试研一研