中考复习-锐角三角函数和解直角三角形

锐角三角函数和解直角三角形1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的正弦sinα＝.∠α的余弦cosα＝.∠α的正切tanα＝.要点梳理∠α的对边斜边∠α的邻边斜边∠α的对边∠α的邻边2．30°、45°、60°的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30°45°60°12323322221321233．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝；tanα＝.互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)sin＝；cos＝.函数的增减性：(0°α90°)(1)sinα，tanα的值都随α；(2)cosα都随α．sinαcosα190°－αcosα90°－αsinα增大而增大增大而减小4．解直角三角形的概念、方法及应用．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c则：(1)边与边的关系：；(2)角与角的关系：；(3)边与角的关系：a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝；acbctanA＝，tanB＝abba121．正确理解三角函数的概念书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sinA；若锐角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略角的符号，如sin∠ABC，余弦和正切的写法同理．由定义可以看出，锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角A的取值范围是0∠A90°，则三角函数的取值范围是0sinA1,0cosA1，tanA0；当∠A确定时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．2．解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等．解这类问题的一般步骤是：(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；(3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．1．如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形解析：当sinA＝，cosB＝时，∠A＝∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．基础自测22C22222．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为()A．2B.C.D.解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝＝.5512255BBCAC123．如图，已知45°∠A90°，则下列各式成立的是()A．sinA＝cosAB．sinAcosAC．sinAtanAD．sinAcosA解析：当45°∠A90°时，∠A∠B，BCAC，在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，∴sinAcosA.BBCABACAB4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A.B.C.D.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，则AB＝3.由CD⊥AB，得∠ACD＝∠B，所以sin∠ACD＝sinB＝＝.5255235352A5ACAB5355如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于()A.B.C.D.解析：连接BD，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，BD＝2EF＝2×2＝4.在△BCD中，BD＝4，BC＝5，CD＝3.由BD2＋CD2＝BC2，得∠BDC＝90°，所以tanC＝＝.34354345BBDCD43题型一特殊角三角函数参与实数运算【例1】计算tan45°·sin45°－4sin30°·cos45°＋tan30°.利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．题型分类深度剖析知能迁移1计算：(1)－tan45°的值是________；解析：－tan45°＝－1＝1－1＝0.sin60°cos30°0sin60°cos30°3232(2)2sin60°＝________；解析：2sin60°＝2×＝.(3)＝________.解析：＝|tan30°－1|＝1－tan30°＝1－.3233tan30°－121－33tan30°－1233题型二仰角、俯角、方向角有关问题【例2】已知：如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20m到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．(小明的身高不计，结果用含有根号的式子表示)探究提高此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度．知能迁移2(2011·潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为3m，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.3探究提高在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．知能迁移3一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考数值：tan31°≈)35题型四解直角三角形在实际中的应用【例4】如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．(1)说明本次台风会影响B市；(2)求这次台风影响B市的时间．探究提高此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系．求影响情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另一点表示台风结束影响．24．添加辅助线，把分散条件集中起来试题如图，AD是BC边上的高，AD∶DC∶BD＝1∶2∶3，求∠BAC的度数．学生答案展示不能添加辅助线来考虑，从而无法下手．剖析如图，延长BA，过C画CE⊥AB，只要求∠BAC的外角即可．易错题温馨提示：如果题目中的条件比较分散，所给的图形不够完整，我们可以通过作垂线，作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形的问题转化为解直角三角形的数学模型(化斜为直的思想)，把分散的条件集中起来，构造直角三角形、相似三角形，以达到解题目的．方法与技巧1.准确理解三角函数概念，熟练运用正弦、余弦、正切的定义．2.形成解直角三角形思考过程的程序：在不同的条件下，应有不同的考虑；无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知的数值，少用在前面的求解中刚刚算出的数值，以减少以错传误的机会．3.解直角三角形应用题的思考方法：(1)寻求各类应用题的共同思考步骤：①审题，把情景尽可能弄通、弄细致，甚至画个示意图；②把示意图转化为几何图；思想方法感悟提高③从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．(2)积累各种类型应用题的特殊思考步骤，如：测高问题，测不可到达的两点间距离问题，航海有关问题等．失误与防范1．在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即∠A的对边为BC，∠B的对边为AC，∠C的对边为AB.2．在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．