28圆的一般方程

圆的一般方程教学目标•掌握圆的一般方程及一般方程的特点•能将圆的一般方程化为圆的标准方程•能用待定系数法由已知条件导出圆的方程•培养学生数形结合思想,方程思想,提高学生分析问题及解决问题的能力.•重点:圆的一般方程及一般方程的特点•难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求圆的方程.[复习与回顾]rbyax2)(2)(2ba,圆的标准方程的形式是怎样的？从中可以看出圆心和半径各是什么？r圆的一般方程【课前练习】1.圆心在（-1,2），与y轴相切(x+1)2+(y-2)2=12.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),圆方程(x-8)2+(y-3)2=133.已知两点A(4,9)、B(6,3),以AB为直径的圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=104.求圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)xy-2-2y=x4.求圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.二、[导入新课]1、同学们想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？rbyax2)(2)(202222222rbabyaxyx2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？022FEyDxyx3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？022FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx2,2ED4、将左边配方，得（1）当时,可以看出它表示以为圆心,以为半径的圆;D2+E2-4F02422FEDr(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．)2,2(ED[观察]：圆的标准方程与圆的一般方程在形式上的异同点.圆的标准方程圆的一般方程)04(02222FEDFEyDxyxrbyax2)(2)(2[说明]：(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径；(2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.22222212610(2)26100(3)26130xyxyxyxyxyxy判断以下方程是不是圆的方程?（）①是②不是③不是例1：下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、半径.0112422)1(22yxyx22(2)20(0)xyaxa22222(2)20)0xyaxxaya由得（22(1)2241210xyxy解：由2212602xyxy得22211)(3)2xy即：（13故它表示以（，）为圆心,422为半径的圆.a,0a故它表示以（）为圆心，为半径的圆例2：_________,4),3,2(0)1(22FEDFEyDxyx则半径为的圆心为已知圆巩固：4-6-3_____,02)2(22的取值范围是则表示圆aayaxyx21,aRa___,024)3(222bxbbyxyx则切轴相与圆2或-2(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程配方展开标准方程[小结一]:例3：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOEA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)几何方法方法一：方法二：待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：222()()(0)xaybrr因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr235abr22(2)(3)25xy所求圆的方程为例3：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程方法三：待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上22222251507(1)7028280DEFDEFDEF4612DEF22(2)(3)25xy即所求圆的方程为22220(40)xyDxEyFDEF2246120xyxy例3：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.[小结二]:(特殊情况时,可借助图象求解更简单)圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2):10lxy弦AB的垂直平分线例4.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.几何方法例5.自点A(-3，3)发射的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求反射光线所在直线的方程.•B(-3，-3)A(-3，3)•C(2,2)•小结1.圆的一般方程:X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0).2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系:(1)(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点.3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系:(1)A=C≠0,(2)B=0,(3)D2+E2-4AF0时,二元二次方程才表示圆的一般方程.4.圆的一般方程的特点:(1)x2和y2的系数相同且不等于0.(2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的一般方程.,,,DEabrDEF2212224例3已知ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求ABC外接圆的方程．强调学生的自主探索例4某圆拱梁的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m)．AOBxyA2P2P课后习题的处理1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．(P102：3)变式1求满足下列条件的各圆C的方程：(1)和直线4x＋3y－5＝0相切，圆心在直线x－y＋1=0上，半径为4；(2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心在直线x＋2y＝0上．的内部，求实数a的取值范围．(P107：7)变式2若点(1，)在圆x2＋y2－2ax－2ay＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围．3.画出方程x－1＝表示的曲线.(P103：8)变式3画出方程y＝3＋表示的曲线.3321y24xx2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4本节小结：圆的标准方程和一般方程；用待定系数法求方程中的基本量．课后作业：P105：3P106：7．8．9