复旦版工程数学之概率统计课件第19讲

随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yYPxXPyYxXP则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是：)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.),(yxf其中是X,Y的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的)(),(yfxfYX边缘密度和Y的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有例1设(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxfyx问X和Y是否独立？解：0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0即：其它,00,)(xxexfxX其它,00,)(yeyfyY对一切x,y,均有：故X,Y独立)()(),(yfxfyxfYXy0若(X,Y)的概率密度为其它,y,yx,)y,x(f01002情况又怎样？解：),1(22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0x10y1由于存在面积不为0的区域，)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立.例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)其它,04515,301)(xxfX所求为P(|X-Y|5)及P(XY)其它,0600,601)(xyfY解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)其它,0600,4515,18001),(yxyxf甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率解一：45155x5xdx]dy18001[P(|X-Y|5)xy015451060405yx5yx=P(-5X-Y5)=1/6=1/2xy01545106040yxP(XY)451560xdx]dy18001[解二：5|yx|dxdy18001P(XY)xy015451060405yx5yx=1/6)]2/30303010(23060[18001=1/2xy01545106040yx被积函数为常数，直接求面积=P(XY)P(|X-Y|5)类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率.长度为a随机变量独立性的概念不难推广到两个以上r.v的情形.（见教材）定理1若连续型随机向量（X1,…,Xn）的概率密度函数f(x1,…,xn)可表示为n个函数g1,…,gn之积，其中gi只依赖于xi，即f(x1,…,xn)=g1(x1)…gn(xn)则X1,…,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：定理2若X1,…,Xn相互独立,而Y1=g1(X1,…,Xm),Y2=g2(Xm+1,…,Xn)则Y1与Y2独立.这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握.如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分布外，有必要引入条件分布的概念，这将在下一讲介绍.