高中数学解题思想方法大全

目录前言………………………………………………………2第一章高中数学常用的数学思想……………………3一、数形结合思想………………………………3二、分类讨论思想………………………………9三、函数与方程思想……………………………15四、转化（化归）思想…………………………22第二章高中数学解题基本方法………………………23一、配方法………………………………………23二、换元法………………………………………27三、待定系数法…………………………………34四、定义法………………………………………39五、数学归纳法…………………………………43六、参数法………………………………………48七、反证法………………………………………52八、消去法………………………………………54九、分析与综合法………………………………55十、特殊与一般法………………………………56十一、类比与归纳法…………………………57十二、观察与实验法…………………………58第三章高考热点问题和解题策略……………………59一、应用问题……………………………………59二、探索性问题…………………………………65三、选择题解答策略……………………………71四、填空题解答策略……………………………77附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………22前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。33第一章高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。Ⅰ、再现性题组：1.设命题甲：0x5；命题乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。（90年全国文）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若loga2logb20，则_____。(92年全国理)A.0ab1B.0ba1C.ab1D.ba13.如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212B.－212C.－1D.1224.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|yx32＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么MN∪等于_____。(90年全国)A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y＝x＋1446.如果θ是第二象限的角，且满足cosθ2－sinθ2＝1sinθ,那么θ2是_____。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角7.已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的区间是_____。（93年全国文理）A.(π2,π)B.(π4,34π)C.(π,32π)D.(34π,54π)8.若复数z的辐角为56π，实部为－23，则z＝_____。A.－23－2ｉB.－23＋2ｉC.－23＋23ｉD.－23－23ｉ9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。(90年全国理)A.12B.33C.32D.310.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B；3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；7小题：利用单位圆，选A；8小题：将复数表示在复平面上，选B；9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－32＋32ｉ。【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组：例1.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为30332xxxmx即：30212xxm()设曲线y1＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知：y4y=1-m1O23x55①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1,x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。例2.设|z1|＝5，|z2|＝2,|z1－z2|＝13，求zz12的值。【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示。由图可知，|zz12|＝52，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝5213252222()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示。则|zz12|＝52，且cos∠AOD＝5213252222()××＝45，sin∠AOD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ。【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z1＝5(cosθ1＋ｉsinθ1)，z2＝＋ｉsinθ2)，则|z1－z2|＝|(5cosθ1－2cosθ2)＋(5sinθ1＋2sinθ2)ｉ|＝292012cos()＝13，所以cos(θ1＋θ2)＝45,sin(θ1＋θ2)＝±35，yADOBxCyADOx66zz12＝521222[cos()sin()](cossin)ii＝52[cos(θ1＋θ2)＋ｉsin(θ1＋θ2)]＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ。本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z1－z2|＝13得：（z1－z2）(z1－z2)＝z1z1＋z2z2－z1z2－z1z2＝25＋4－z1z2－z1z2＝13,所以z1z2＋z1z2＝16,再同除以z2z2得zz12＋zz12＝4，设zz12＝z，解得z＝2±32ｉ。几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。例3.直线L的方程为：x＝－p2(p0),椭圆中心D(2＋p2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它