锐角三角函数与解直角三角形复习课件 (1)

CABbca1.本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。的邻边的对边①AAAtan的斜边的对边②AAAsin的斜边的邻边③AAAcos2.锐角α的取值范围及变化情况：锐角α的函数记法锐角α的取值范围三角函数的取值范围增减性α从0°↗90°锐角α的正弦sinα0sinα1随着角度增大而增大锐角α的余弦cosα0cosα1随着角度增大而减小锐角α的正切tanαtanα0随着角度增大而增大锐角α的余切cotα0°α90°cotα0随着角度增大而减小3.特殊角的三角函数值：三角函数0°30°45°60°90°sinα01222321cosα13222120tanα03313不存在cotα不存在313304.同一锐角α的三角函数之间的关系：（1）平方关系：sin2α+cos2α=1（）比的关系：，2tansincoscotcossin。，或·）倒数关系：（tan1cotcot1tan1cottan35.互余两角的三角函数之间的关系：sin()coscos()sin9090°，°，tan()cotcot()tan9090°，°。6.解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下关系：（1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（互余关系）（3）边角关系：BcaAbC(图1)sincostancotAacAbcAabAba，，，；sincostancotBbcBacBbaBab，，，。解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7.解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°：⑴已知∠A、c,则a=__________;b=_________。⑵已知∠A、b,则a=__________;c=_________。⑶已知∠A、a，则b=__________;c=_________。⑷已知a、b，则c=__________。⑸已知a、c，则b=__________。ABbac┏C对边邻边斜边已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；求邻边，用锐角的余弦。已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；求斜边，用锐角的余弦。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切；求斜边，用锐角的正弦。AcsinAccosAtbanAbcosAatanAasin22ba22ac选用关系式归纳为口诀:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;求对用正,求邻用余;取原避中,宁乘勿除。8.有关解直角三角形的应用题：视线眼睛仰角水平线俯角视线图1应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念：(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示，即，如图2。lihltgihltghl图2(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。3090210、、北A0BC图3(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角叫做方向角，6045303045D北A3060西东03045CB南图490如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东、南偏东、南偏西、北偏西。又如，东南方向，指的是南偏东角。一.基础题型分析：例1.在△中，∠°，，则的值是（）RtACBC=90coscotBB23ABCD....355225555分析：,3232cos90ABC2xABxBCBC，，可设°，利用，∠，可以构造直角三角形如图.55252cot522cxxACBCBxBCABAC，应选，所以，根据勾股定理，有A3xC2xB(图2)解法二：利用同角的三角函数的关系式。∵sin2B+cos2B=1∴，舍负sincos()(sin)BBB112353022∴。cotcossinBBB2353255，解三角形。，°，中，∠△在332=b32=a90=CABCRtA323B32C(图3)（）∵13232333tanAab（）∵3sinAac∴°。caAsinsin323064cab222222232323321332464()[()]×。例2.∴∠A=30°。（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。解法二：（1）在Rt△ABC中无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。（）∵233tanAab（）∠°∠°39060BA不要计算错误。，但应注意斜边，求出∠求出解法二也可由cAAcaA21sinsin∴∠A=30°说明：解法一：在Rt△ABC中，如图3。例3.当45°α90°时，下列各式正确的是（）A.sinαcosαB.sinα=cosαC.tanαcotαD.tanα1BAC（图4）α∵sincosBCABACAB∵°°∴°°45909045又∵°，°cossin()cottan()9090)90tan(tan)90sin(sin°，°cottancossin，∴分析：如图4，设∠A=α，则BCAC。解法一：利用三角函数定义。∴应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。∴根据锐角的正弦（切）的增减性可知应选A，其它两项也不成立。解法三：找标准量45°角比较。∵45°α90°∴sinαsin45°，cosαcos45°∵sin45°=cos45°∴sinαcosα，同理tanαcotα，∴应选A。例4.A.等腰非等边三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形在△中，若，则△是（）ABCABABC|sin|(cos)321202分析：根据“两个非负数的和等于，则两个数都等于”的性质，有，0032sinAcosB12，所以∠A=60°，∠B=60°，应选B。例5.α为锐角，若m2，下列四个等式中不可能成立的是（）AmBmCmDm.sin.cos.tan.cot111111分析：根据三角函数值的取值范围，有010100sincostancot，，，而，，，sincostancot1111111010mmmm∴判断可知cosα选项不可能成立，应选B。例6.若为锐角，，求的值。sincossincos43分析：题目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：sin2α+cos2α=1解题。34cossin∵解：∴两边平方，得·sincossincos222169∴2169179sincos∵·(sincos)sincossincos22221792932cossin±∴注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sinα与cosα的大小。例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。AcbBaC(图1)解：列方程组accacacacacacaac126412641216310326322()()∴。cosBac103263513二.综合题型分析：例8.已知：如图5，△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，∠ACB=120°，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。ABDC(图5)30°45°120°解法一：过A作AE⊥BC的延长线于E，∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°。设，则，CE=xAE=3x∵∠ADC=45°∴DE=AExx38x831434∵∠°，BAEx303∴·°BExx3303cot∴。BDBEDCCExxx382883E解法二：如图6，过D作DF⊥BC于D，交AB于F。ABDC(图6)30°45°120°F易证得∠FAD=∠DAC=15°∵FD⊥BC，∠ADC=45°∴∠ADF=∠ADC=45°在△ADF和△ADC中∠∠∠∠FADCADADADADFADC∴△ADF≌△ADC∴DF=DC=8在Rt△BDF中，∵cotBBDDF∴··°BDDFBcotcot83083例9.如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F，已知sinα=513，求的值。tanBADMFNBC（图7）Eαβ分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。的一个△是三角形中，如放在一个直角，为了应用它，要把已知FBCRt135sin锐角，或α是Rt△MNC的锐角，或α是Rt△EMF的一个锐角，这样就有三种解法。求tanβ，从图形直观上看，就是把β放在Rt△AME中，求出AE和ME，或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可。解：在Rt△MNC中，∵sin513∴设MN=5x，MC=13x，则NC=12x。∴ME=MN=NB=5x，BC=NC－NB=7x。AEABBExxx752∴。tanAEMExx2525例10.在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，求S△ABC。CA（图8）15°解法一：如图8，取AB的中点D，连结CD，过C作CE⊥AB于E。∵AB=12∴×ADBDCD12126∴∠A=∠ACD=15°∠CDB=30°在Rt△CDE中，CECD123∴·××。△SABCEABC121212318BED解法二：如图9，把△ACB沿AC翻折，得到△ACD，CA（图9）D则△ACD≌△ACB∴∠DAC=∠CAB=15°，∠DAB=30°AD=AB=12过点D作DE⊥AB于E，∴DE=AD·sin30°=6∴·××△SABDEABD121212636∴×。△△SSABCABD12123618BE例11.如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）A30°60°D100CB分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt△ABC与Rt△ADB有一条共同的线段AB，因此只要利用Rt△ABC和Rt△ADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。解：设AB=xxABBCBCABABCRt3360tan60tan中，在xABBDBDABABDRt330tan30tan中，在10033100xxBCBD3，350100332ABAB，答：建筑物的高为米。AB503例3.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1°）分析：（1）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上