2018期初江苏省南师附中等四校联考数学试题(解析版)

1南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）Ⅰ必做题部分参考公式棱锥的体积公式V棱锥13Sh，其中为S棱锥的底面积，h为棱锥的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合{1,}Aa，{2,3}B，且{3}AB，则实数a的值是▲．答案：3解析：{3}{1,3}3ABAa点评：考查集合的运算，属于容易题.2.已知复数121izi，其中i是虚数单位，则z的实部是▲．答案：12解析：1322zi点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．答案：42解析：先判断，后执行，易得S=42点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第3题图）（第4题图）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．24.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为▲．答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为300.515点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．答案：14解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为41164点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题.6.已知tan34，则sincos3cos的值为▲．答案：-2解析：222221sincos3costan3tan,sincos3cos22sincostan1点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan的齐次式，属于容易题.7.设数列na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知39S，15225S，nB为数列nSn的前n项和，则nB=▲．答案：22nn解析：代入基本量运算，可得2211,2,,,2nnnSnnadSnnBn点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22:104xyCmm的一条渐近线与直线210xy垂直，则实数m的值为▲．答案：16解析：渐近线方程为：2myx，由垂直得1()11622mm点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题.9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为▲．答案：4333解析：设四棱锥斜高为',h底面边长为''2'2121432,2,3334ahaahVshah点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题.10.设fx是定义在R上且周期为4的函数，在区间(2,2]上，其函数解析式是,201,02xaxfxxx，其中aR．若55ff，则2fa的值是▲．答案：1解析：(5)(5)(1)(1)1(2)1ffffaf点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数3221fxxaxax在[1,1]上单调递减，则a的取值范围是▲．答案：33aa或解析：易得'22()320fxxaxa在[-1，1]上恒成立，所以''(1)0(1)033ffaa且或点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题.12.如图，在四边形ABCD中，1ABCD，点,MN分别是边,ADBC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同．．的两点,PQ，则()PQABDC的值为▲．答案：0解析：1122MNMNMN（AB+DC），PQPQ（AB+DC）（ABDC）=0点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆O：225xy，,AB为圆O上的两个动点，且2AB，M为弦AB的中点，(22,),(22,2)CaDa．当,AB在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值范围为▲．答案：0a或2a解析：由2,OMM点的轨迹方程为圆221:4Cxy，要使得始终有CMD为锐角，则以CD为直径的圆2C与圆221:4Cxy外离，所以28(1)3a点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知1,2ab，则222()14abab的最小值为▲．答案：6解析：令221ax，224by，有21ax，24byMAPQDCNB42222222222(14)52(1)(4)()14xyxyxyabxyxyab22252(2)()96()6xyxyxyxyxyxyxy点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc．已知coscos2cosaBbAcC．（1）求角C的大小；（2）若2,cABC的面积为3，求ABC的周长．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及coscos2cosaBbAcC，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC，………2分因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，………4分所以cosC＝12，所以C＝π3.………7分（2）1sin32abC又C＝π3，所以4ab，………9分由已知及余弦定理得222cos4ababC故228ab，从而2()16ab………12分所以ABC的周长为6.………14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，90ABC，PAPC,平面PAC⊥平面ABC，,DE分别为,ACBC中点．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面PDE．解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．所以DE∥AB，………2分又DE平面PAB，AB平面PAB，所以DE∥平面PAB.………5分（2）因为PA＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC，………6分又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD平面PAC，故PD⊥平面ABC，因为BC平面ABC，所以PD⊥BC．………9分因为∠ABC＝90°，DE∥AB，EDCABP5因此DE⊥BC．………11分因为PD⊥BC，DE⊥BC，PD∩DE＝D，PD，DE平面PDE，所以BC⊥平面PDE，又BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．………14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题．17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB米，80AD米，以BCAD,为直径的半圆1O和半圆2O（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BCCDDA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE、FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,EF分别为,ADBC上的动点，//EFAB，且线段EF与线段AB在圆心1O和2O连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．解析：（1）如图，20ME米，1203OM米，梯形12OOFE的面积为1(12080)203200032平方米．矩形12AOOB的面积为4800平方米．16AOE，扇形1OAE和扇形2OFB的面积均为14001600263平方米，所以阴影部分面积为8004800200033平方米．………5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为8004800200033平方米．………6分（2）设1,(0,)2AOE，则40AEBF，120240sin12080sinEF，修建费用()20080400(12080sin)16000(32sin)f………9分'()16000(12cos)f，令'()0f，则3，(0,)33(,)32'()fMN6()f所以，当3时，即13AOE，修建费用最低．………13分答：当1AOE为3时，修建费用最低．………14分点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中．18.（本小题满分16分）已知椭圆C的方程:22221(0)xyabab，右准线l方程为4x，右焦点1,0F（），A为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆在x轴上方一点，点N在右准线上且满足0AMMN且|2|5||AMMN,求直线AM的方程．解析：（1）,1,42cca3,422ba13422yxC：椭圆，………4分（2）设2:xkyAM42241321324134222222222xxxxkxkxyxxky2px42322xxk，64332211234222kkxk34123486222kkykkxMM………8分而kkMN1，又,4NxNMxxkMN2113462413462411222222kkkkkkkMN………10分又3412134121122222kkkkxxkAMAM………12分MNAM25346241234121522222kkkkkk411或k………14分xyAOMNF721412xyxy或………16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中．19.（本小题满分16分）已知函数()ln,(),fxxaxgxexaR，（e是自然对数的底数）（1）若直线yex为曲线()yfx的一条切线，求实数a的值；（2）若函数()()yfxgx在区间(1,)上为单调函数，求实数a的取值范围；（3）设()|()|()[1,]Hxfxgxxe，，若()Hx在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a的取值范围．解析：（1）设切点),(00yxP，则00000,lnexyaxxy，00ln()xaex（*）又,1)('axxfeaxxf001)('，eax10代入（*）1ln0x，ex0eea1