矩阵初等变换的定义

湖北科技职业学院矩阵初等变换的定义定义1下面三种对矩阵的变换,统称为矩阵的初等行变换.(1)互换矩阵中两行的位置.如果第ij两行互换,(2)以任意数k0去乘矩阵的第i行所有元素,(3)把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去(其中k为任意数),记作rirj.记作kri.记作kri+rj第三章初等变换与线性方程组第一节初等变换湖北科技职业学院设矩阵1211361351015A对A施以行初等变换.解1211361351015135rr123rr121100405101512110040004032rr121100400000例1行阶梯形矩阵每一行首位非零元素所在列的位置逐行增加,且零行在非零行下面.行阶梯形矩阵特点：湖北科技职业学院下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵,哪些不是?12301005240007301751001040002100000105001210007001010101456730141000√√√××湖北科技职业学院如果对例1中的行阶梯矩阵进一步实施行变换,可使它更加简化.121100400000214r12110010000012rr120100100000最后这个矩阵称为行最简形矩阵,其特点是:(1)满足行阶梯矩阵特征,是一个行阶梯矩阵.(2)它每行中首位非零元素是1,而且首位非零元素所在列除1外,其它元素都是0.102001100001?√101100120100000?√100010001?√湖北科技职业学院对于矩阵的初等变换有如下几点说明:(2)初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等,所以一定要用“→”来连接变换前后的矩阵.(3)三种初等行变换都是可逆的.即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵.(1)初等行变换可以将任意m×n阶矩阵化为行阶梯矩阵和行最简形矩阵.37410946112rr10937446121rr374109461124512r2445112r1245如:湖北科技职业学院注三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型的初等变换.(4)如果对行的三种变换换成对列的,同样得到对列的三种变换,分别记为:)1(kri变换rik的逆变换为(或记作rik)变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj)变换rirj的逆变换就是其本身这就是矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.cicj(对调ij两列);kci(以任意数k0去乘矩阵的第i列的所有元素);kci+cj(第i列的k倍再加到第j列上).湖北科技职业学院如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作矩阵等价的定义.~AB如果An是可逆矩阵,那么An经过有限次的初等变换可化成单位矩阵En,所以~.nnAE等价矩阵具有下列性质(i)反身性A~A(ii)对称性若A~B则B~A(iii)传递性若A~BB~C则A~C定义2湖北科技职业学院123212312121323rrrr1230340772373rr123034007例2化为行最简形矩阵.3123212312A将矩阵解123014/3001231317rr212rr101/3014/300131321343rrrr100010001从而得A3~E3.行阶梯形矩阵行最简形矩阵