“三点定型”法及三角形相似解决问题

“三点定型”法在相似证明中的应用《相似形》这一章在初三教学中是一个重点内容，无论是数学本身还是在实际中，都有广泛的应用，每年各地中考题中也屡次出现，其中比例式和等积式的证明是本章的重点和难点。我在平时教学中发现用“左看、右看、上看、下看”加“三点定型”法及适当变形做这类题比较简单，现分三类举例如下。一类：直接利用“左看、右看、上看、下看”加“三点定型”例1，已知：∠ACB=900，CD⊥AB。求证：AC2=AD•AB分析：要证AC2=AD•AB，可先证ACABADAC，这时看等号的左边A、C、D三点可确定一个三角形，而等号右边A、C、B三点也可确定一个三角形，即证△ACD∽△ABC。都看上面的分子为A、B、C及都看下面的分母为A、C、D也可确定去证△ACD∽△ABC。例2，已知：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BP•PC=BM•CN分析：要证BP•PC=BM•CN，只需证PCCNBMBP看等号的左边B、P、M和等号右边C、N、P可确定证△PBM∽△NCP。二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1，已知；AD平分∠BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF2=BF•CF分析：由已知可得DF=AF，直接证DF2=BF•CF找不出相似三角形，可改证AF2=BF•CF，即证AFCFBFAF，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出△ABF∽△CAF例2，已知；在Rt△ABC中，∠A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE•FC分析：要证EF2=BE•FC，可证EFFCBEEF，这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证FGFCBEDE即可。再用“左看、右看”的方法确定证△BDE∽△GCF从而完成证明。三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1，已知：梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O点，作BE//CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证ODOBOAOC，用“上看、下看”定出△OBC∽△ODC,然后再证OCOEODOB,用同样的方法确定证△OBE∽△ODC相似即可。例2，已知：BD、CE是△ABC的两个高，DG⊥BC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于H。求证：GD2=GF•GH分析：要证GD2=GF•GH,这时我们发现G、D、E、F在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三角形和原三角形相似得出GD2=BG•CG，从而把原题转化为证BG•CG=GF•GH，再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证△BGH∽△FGC相似即可。运用相似三角形解题的方法一、寻找法例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外接圆的上任一点，连结AD、BD．求证：BEAEBDAB．分析：要证BEAEBDAB，可利用相似三角形，怎样找相似三角形呢？比的前项BE和AE是△ABE的两条边，比的后项BD和AB是△ADB的两条边，所以我们只要证明△ABE∽△ADB就可以了．证明：∵AB=AC∴∠ABE=∠C，∵∠D=∠C，∴∠ABE=∠D，又∵∠BAD=∠BAE∴△ABE∽△ADB∴BEAEBDAB如果这个题的结论是改成证明BEBDAEAB，则应该把等式左边比的前项和后项看成一个三角形的两条边，而把等式右边的前项和后项看成另一个三角形的两条边；或者交换比例内项的位置也可以．二、构造法有时，题目里面没有现成的相似三角形，就需要添线构造了．例2：如图2，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证：AB·AC＝AD·AE．分析：AB·AC＝AD·AE改成比例式就是ABAEADAC，根据寻找法需要证明△ABE∽△ADC，但图形中没有△ABE，因此需要连结BE，构造出△ABE，然后证明相似就可以了．构造法是平面几何中一种十分重要的方法，不仅在相似形中用得着，而且在其它方面应用也非常广泛．三、过渡法有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等线段过渡法例3：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：DE2＝BE·CE改成比例式为DECEBEDE，但线段DE、BE、CE在同一直线上，构造不出相似三角形．因EF垂直平分AD，连结AE，则有DE＝AE，要证的比例式可化为AECEBEAE．由此只需要证明△ABE∽△CAE即可．2、等比过渡法例4：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：ABDFACAF．分析：显然此题不能找出直接得到这个比例式的两个相似三角形．但由已知条件易证ABBDACAD，这就转化为证明比例式BDFDADAF．只须证明△AFD∽△DFB即可．3、等积过渡法例5：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．分析：CD2＝DF·DG中的线段CD、DF、DG位于同一条直线上，按常规方法难以奏效．考虑到CD是Rt△ABC斜边AB上的高，可得CD2＝AD·BD，因此可转化为证明AD·BD＝DF·DG．这可由△ADG∽△FDB证得．四、假借法例6：如图6，从圆外一点P作切线PA，从PA的中点B作割线BCD，连结PC、PD，分别交圆于E、F．求证：FE∥PA．分析：要证FE∥PA，当然会想到证明∠E=∠BPC，因为∠D=∠E，自然也可以想到证明∠D=∠BPC．问题是，怎么证明这两个角相等．从图形上不难看出∠D是△BPD的内角，∠BPC是△BCP的内角，因此，若能证明这两个三角形相似，问题就可以解决了．由切割线定理得BA2＝BC·BD，所以BP2＝BC·BD，改成比例式为BPBDBCBP，又∠PBC是公共角，所以这两个三角形确实相似．接着就不难证明FE∥PA了．利用相似三角形证明垂直，方法与证平行差不多，我们也举一例．例7：如图7，BD、CE分别是△ABC的高，点O是△ABC外接圆的圆心．求证：AO⊥DE．证明：延长AO交⊙O于点F，连结CF，则∠ACF=90°.∵∠AEC=∠ADB=90°,∠BAC=∠BAC,∴△ADB∽△AEC.∴ADABAEAC∴△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠ABC.∵∠F＋∠FAC=90°，∠F=∠ABC，∴∠ADE＋∠FAC=90°，∴AO⊥DE.五、分拆法例8：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点．求证：PA2＝AB2＋PB·PC．分析：由已知条件，不难得出△ADB∽△ABP，从而AB2＝PA·AD，因此要证原式成立，只需要证明PA2＝PA·AD＋PB·PC，因为AD是PA的一部分，因此我们可以把PA分成AD和PD两部分，则PA2＝PA（AD＋PD）＝PA·AD＋PA·PD，下面证明PA·PD＝PB·PC可以通过证明△PAC∽△PBD而得到．六、转换法例9：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点，PA交BC于点D．求证：111PBPCPD．分析：111PBPCPD可以转换为1PDPDPBPC，要证明这个等式，关键是要把两个比换成后项相同，而前项之和恰好等于后项．注意到△PDB∽△CDA，△PDC∽△BDA，所以PDDCPBAC，PDDBPCAB，问题就转化为证明1DCDBACBC，因为AB＝AC＝BC，上式又可以转化为1DCDBBCBC，这个等式的成立是显而易见的．运用相似三角形解题的方法是平面几何中最为有效的方法之一，其关键是寻找相似的三角形．简单的图形一眼就能看出来，稍为复杂的图形，还要将条件和结论联系起来，按照上述所列举的方法，综合考虑．