线性代数

1第1章行列式一．二阶和三阶行列式（对角线展开法则）一、单项选择题1.设三阶行列式20201102kk=0,则k=().A.k=-1或k=2B.k≠1或k≠-2C.k=1或k=2D.k≠-1或k≠22.设行列式D=a52231521=0,则a=().A.2B.3C.2D.33.设行列式xaaaa22211211,yaaaa21231113,则232221131211aaaaaa()A.x+yB.(x+y)C.yxD.xy二、填空题1.设A=200011012,A*为A的伴随矩阵,则det(A*)=______________.2.设A为3阶方阵,det(A)=2,则det(2A)=______________.3.设A为3阶矩阵,若|AT|＝3,则|2A|=______________.4.36259653111_____________.5.行列式354412231中(3,2)元素的代数余子式A32=______.二、四阶行列式计算（乱码-按某行列展开、有规律-性质）1.计算4阶行列式172325421311310542解:17232542131131054=2210012013111210=221012121=340230121=3423=1.2.计算4阶行列式3351110243152113解:335111024315211303550100131111115=0551111115=0550261155526.4010303.计算4阶行列式0111101111011110解:0111101111011110=0113101311031113=1000010000101113=3.4.计算4阶行列式abbbbabbbbabbbba解:abbbbabbbbabbbba=abbbababbabbababbbba3333=babababbbba0000000003=3))(3(baba.35.计算4阶行列式abbababa00000000.解:abbababa00000000=ababaa0000bababb0000=44ba.6.设f(x)=xxxx321132213321,求f(4).解:f(4)=4321143221433214=43211432214310101010=104321143221431111=103210121012101111=10321121121=10440040121=160.7.计算4阶行列式1111000000ccbbaa三、行列式的性质四、行列式计算（证明）例1.设4132212130114321D，且D中第i行第j列元素的余子式与代数余子式依次记作ijM和ijA，求（1）14131211AAAA；（2）41312111MMMM．4解:（1）14131211AAAA74132212130111111；（2）由41312111MMMM41312111AAAA，例2．设行列式8142701233330001中元素ija的代数余子式为ijA，求（1）22A和34A；（2）34333231AAAA．例3．利用范德蒙德行列式计算（1）baaccbcbacba222；（2）6427811694154321111．例4．利用行列式性质计算下列行列式(1)3621301412300121；(2)xxxx1111111111111111（3）xyyxyxyx000000000000（4）mxxxxmxxxxmxnnn212121例5．证明(1)322)(11122babbaababa；(2)yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33；5(3)221111111111111111yxyyxx．（4）)11(11111111112121niinnaaaaaaa例6．选择题设行列式1333231232221131211aaaaaaaaa，则行列式333231312322212113121111342342342aaaaaaaaaaaa（）.（A）6；（B）4；（C）12；（D）4.例7.设矩阵A=233222111cbacbacba,B=233222111cbacbacba,且det(A)=2,det(B)=3,计算det(A+2B).五、克拉默法则.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1．5．1)推广（三种情况）：（1）如果线性方程组(1．5．1)的系数行列式D0，则方程组(1．5．1)一定有解，且只有惟一解．（2）0D且021nDDD，则方程组(1．5．1)一定有解，且有无穷多解.（3）0D且某个0jD，则方程组(1．5．1)一定无解.定理1．5如果齐次线性方程组(1．5．4)的系数行列式D0，则齐次线性方程组(1．5．4)有惟一解即只有零解．如果齐次线性方程组(1．5．4)有无穷多解即有非零解，则系数行列式0D．例1．讨论为何值时，齐次线性方程组.0,0,0321321321xxxxxxxxx有非零解．解方程组的系数行列式6)2()1(1111112D.若所给齐次线性方程组有非零解，则0D，得1或2．不难验证，当1或2时，所给齐次线性方程组的确有非零解．例2．求k的值，使下列齐次线性方程组.02,0,0zyxzkyxzykx有非零解．例3．讨论为何值时，线性方程组2321321321,,1xxxxxxxxx有惟一解，无穷多解，无解？例4．求三次多项式332210)(xaxaxaaxf,使得0)1(f，4)1(f，3)2(f，16)3(f．例5．讨论ba,为何值时，线性方程组.42,3,4321321321xbxxxbxxxxax有惟一解，无解，有无穷多解．行列式计算-证明的一些方法：(1)定义法：适用概念性较强的题目(2)化为上（下）三角行列式法:这是最为有效的方法，特别是具体的4-5阶数字型行列式的计算。(3)按某行（列）展开法：某行（列）0元素较多时方便，需要用归纳法-递推法求解的题目十分必要。(4)数学归纳法-递推公式法：结构有规律的行列式可通过展开法，再采用。(5)拆行（列）、添行（列）法。(6)范德蒙德行列式法。*例1—(行列式的全排列定义)不是中的项（因为）7是中的项，符号是==1或改写为，符号是==1中,写出含因子的项.解：±,其中是1,6的所有排列16,61，所求项为，(4)在中，若,则为实数。(5)利用=0，证明n阶排列中奇偶排列各占一半。中的系数为多少？例2—（四阶行列式“乱码式”）=40=70例3：化为上（下）三角行列式法-按某行（列）展开法-递推公式法-拆行（列）、添行（列）法。8例4—（递推公式-数学归纳法）=n+1=cosn例5—拆行列—添行列=(4+x)9===例6—拆行列—添行列例7—范德蒙德行列式例8—其他(1)奇数阶反对称矩阵的行列式为0。=1+(3)分析因子法10=-3(-1)(-4)(4)设D=,且D中（i,j）元素的余子式和代数余子式分别为和,求+++；+++以前的考题一、单项选择题1.3阶行列式+=()(A).(B).(C).(D).二、填空题1.(14/15)3阶行列式=-9,x=三、计算题(1)(2004/2005)=11(2)(2005/2006)=(3)(2006/2007)=(4)(2007/2008)(5)(2008/2009)=(6)(2009/2010)(7)(2010/2011)=(8)(2011/2012)=(9)(2012/2013)=(10)(2012/2013)=(11)(2013/2014)=12(12)(2014/2015)=,其中x,a,b,c全不为0第2章矩阵一、矩阵的概念与运算3.矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB不一定等于BA,即矩阵乘法不满足交换律.（2）若矩阵,A与B满足ABO,并不能得出AOBO或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,ACBCCO,也未必推出=AB.4.方阵的行列式与幂性质2.4设A,B均为n阶方阵,为数,则（1）nAA；（2）mA=mA,m为正整数；（3）ABABBA.由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()kkkkABABAB.5.矩阵的转置性质2.5(假设运算都是可行的)（1）()TTAA；（2）()TTTABAB；（3）()TTAA；（4）()TTTABBA；（5）若A为方阵,则TAA.二、逆矩阵定理2.2方阵A可逆的充要条件是0A,且1*1AAA.其中*A为A的伴随矩阵.13推论2.1若ABE（或BAE）,则A可逆,且1BA.性质2.6(1)若A可逆,则1A也可逆,且11()AA,111AAA；(2)若A可逆,数0,则A可逆,且111()AA；(3)若、AB为同阶矩阵且均可逆,则AB也可逆,且111()ABBA；(4)若A可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()TTAA；(5)若A可逆,*A为其伴随矩阵,则*11*()()AA.例5.设abcdA,0bcad,求1A.解：1*11dbcaadbcAAA例6.若12(,,,)ndiagaaaA,其中0(1,2,...,)iain,求证：112111(,,,)ndiagaaaA.矩阵方程：求解方法：矩阵方程AXB,若A可逆,则1XAB；同理对矩阵方程XAB,若A可逆,则1XBA；对于矩阵方程AXBC,若A与B均可逆,则11XACB.注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘.三、矩阵的初等变换定理2.3设A和B为mn矩阵,则有（1）rAB存在m阶可逆矩阵P,使得PAB；（2）cAB存在n阶可逆矩阵Q,使得AQB；（3）AB存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQB.四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A中不为零的子式最高为r阶,即存在r阶子式rD不为零,而任何1r阶子式均为零,则称rD为A的最高阶非零子式,称r为矩阵A的秩,记作()RrA.当AO时,规定()0RA.显然0()min,mnRmnA.()mnRmA时,称A为行满秩矩阵；()mnRnA时,称A为列满秩矩阵；()nnRnA时,称A为满秩矩阵；()nnRnA时,称A为降秩矩阵.性质2.8（1）若矩阵A中有某个s阶子式不为0,则()RsA；14（2）若A中所有t阶子式全为0,则()RtA；（3）()()TRRAA；（4）nnA可逆()RnA.（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若AB,则()()RRAB.推论2.3若,PQ可逆,且PAQB,则()()RRAB.性质2.9（1）max(),()(,)()()RRRRRABAABB；（2）()()()RRRAABB；（3）()min(),()RRRAABB；（4）()()mnnsRRnBOBAA.