二次函数与一元二次方程、二次函数知识总结

学员姓名年级辅导科目数学学科教师班主任授课时间教学课题二次函数与方程、二次函数知识总结教学目标理解掌握二次函数与一元二次方程的关系，掌握根与系数的关系，掌握本章知识结构。教学重难点知识理解掌握。课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:教学内容一、二次函数与一元二次方程：（一）思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？3、结论：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。反过来也成立。4、观察与思考：观察下列图象：（1）观察函数y=x2-6x+9与y=x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；（2）判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（二）归纳提高：一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：1、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0课堂教学过程有实数根x1=,x2=.2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=x2=.3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0实数根.反过来，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。当Δ=acb40时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；当Δ=acb4=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；当Δ=acb40时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点.例1．如图，抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是直线1x，且经过点P（3，0），则方程20(0)axbxca的根为：。例2．直接说出下列二次函数的图象与x轴公共点的个数（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．例3.已知抛物线26yxxa的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；与x轴最多只有一个交点，则a的范围是例4.已知抛物线y=x2-2x-3①与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________，②当y＞0时,x的取值范围是_______,当y＜0时,x的取值范围是_______,当x＜0时,y的取值范围是_______例5.如图，在同一坐标系中一次函数的图像与坐标轴交于B、C，二次函数的图像与坐标轴交于A、B、C三点，且对称轴平行于y轴.（1）分别求出图中一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图像指出当x为何值时，一次函数与二次函数的值均随x的增大而增大？（3）根据图像指出当x什么范围时，一次函数的值大于二次函数的值？（三）自主探究问题1：想一想，如何根据图象确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的符号，y–133OxP1（1）a的符号与抛物线的___________有关，有什么结论？______________________________________（2）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标是________因此抛物线与y轴的交点:①在y轴正半轴上时，c与0的大小关系是___________；②在y轴负半轴上时，c与0的大小关系是___________；③在原点时，c与0的大小关系是_________。（3）对称轴与_____有关，如何确定b的符号?例1、（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么你能判断出以下量的符号吗？a___0;b___0;c____0;abc___0、2a+b___0、a+b+c___0、a-b+c___0、b2-4ac___0、4a+2b+c____0。（2）在同一坐标系中，直线y=ax+b(a≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可能是（）ABCD课堂检测：1、已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下左图，判断下列式子与0的大小关系（1）a_______0(2)b_______0(3)c_______0(4)a+b+c_______0(5)a-b+c_______0(6)b2-4ac___0,(7)2a+b_______0(8)2a-b_______02、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上右图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）A、ab＜0B、abc＞0C、a+b+c＞0D、a-b+c＜03、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右下图，则ac与0的大小关系是（）A、＜B、≤C、＞D、≥4、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右上图，下列结论中①abc＞0②a+b+c＜0③b=2a④a-b+c＞0正确的个数有（）A、0个B、1个C、2个D、3个二次函数知识梳理1.二次函数的概念及图象特征二次函数：如果02acbxaxy，那么y叫做x的二次函数．通过配方02acbxaxy可写成aacbabxay44222，它的图象是以直线abx2为对称轴，以abacab44,2-2为顶点的一条抛物线．2.二次函数的性质值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当abx2时，函数有最小值abac442；当x＜ab2-时，y随x的增大而减小；当x＞ab2-时，y随x的增大而增大．[来源:学科网]＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x＝ab2-时，函数有最大值abac442；当x＜ab2-时，y随x的增大而增大；当x＞ab2-时，y随x的增大而减小．3.二次函数图象的平移规律2axykaxy2khxay2抛物线02acbxaxy可由抛物线02aaxy平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式khxay2来讨论．4.a、b、c及acb42的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0.开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（abx2＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（abx2＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：[来源:学科网]c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5.二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：02acbxaxy；⑵设顶点形式：khxay2（a≠0）；⑶设交点式：21xxxxay（a≠0）.6.二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.例1.二次函数y=－31x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－31x2的图象.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）A.5B.4C.3D.2例3.如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A.－35B.0C.－35或0D.1例4.已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.例5.已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.随堂检测测试题（累计不超过20分钟）：道成绩教学需：加快□保持□放慢□增加内容□教师反馈听课及知识掌握情况：老师课后评价：课后任务课后预习：课后复习：课后作业：