2016届高考数学一轮复习课件：第3章 第7节 正弦定理和余弦定理(新人教A版)(山东专用)

第七节正弦定理和余弦定理课堂限时检测挖掘１大技法抓住２个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容______________________＝2Ra2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________．变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②a∶b∶c＝_____________________；③a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.cosA＝______________；cosB＝______________；cosC＝_______________.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．二、三角形常用面积公式1．S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；2．S＝12absinC＝_________＝12__________.3．S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．12acsinB12bcsinA三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A、B、C≠π2)．1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.63B.223C．－63D．－223【解析】由正弦定理，得sinB＝b·sinAa＝33.∵a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cosB＝1－sin2B＝63.【答案】A2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定【解析】∵bsinA＝24sin45°＝122＜18，∴bsinA＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.【答案】A【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BCsin120°＝12×5×3×32＝1534.4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【答案】15345．(2013·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)．∵2asinB＝3b，∴2sinAsinB＝3sinB.∴sinA＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】D6．(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵bcosC＋ccosB＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝asinA，∴sinA＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．【答案】B考向一[065]利用正、余弦定理解三角形(2014·临沂模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【思路点拨】(1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解．(2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解．【尝试解答】(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB.所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.规律方法11.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练(1)△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a的值()A.32B.33C.22D．1(2)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC等于()A.14B．－14C.13D．－13(3)(2014·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】(1)法一∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴(3)2＝a2＋1－2acos2π3，∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.法二由正弦定理bsinB＝csinC得sinB＝bsinCc＝12.∵b＜c，∴B＜C，∴B＝π6.又A＋B＋C＝π，∴A＝π－B－C＝π6，∴a＝b＝1.(2)由sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4可知a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3x，b＝2x，c＝4x，则cosC＝9x2＋4x2－16x22·3x·2x＝－14.(3)由sinC＝23sinB可知c＝23b.又a2－b2＝3bc，∴a＝7b.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.∴A＝30°.【答案】(1)D(2)B(3)A考向二[066]利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(2014·吉林模拟)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．【思路点拨】求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边．【尝试解答】法一(化边为角)：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得2sin2AcosAsinB＝2sin2BsinAcosB，即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二(化角为边)：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦、余弦定理得a2b·b2＋c2－a22bc＝b2a·a2＋b2－b22ac∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．规律方法2判定三角形形状的两种常用途径1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.对点训练在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴bc＝－2bccosA，cosA＝－12.又0＜A＜π，∴A＝23π.(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∴sin2A＝(sinB＋sinC)2－sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，且sinA＝32，∴sinBsinC＝14，因此sinB＝sinC＝12.又B、C∈(0，π2)，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．考向三[067]与三角形面积有关的问题(2013·浙江高考)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积【思路点拨】(1)利用已知条件和正弦定理可求出sinA，进而求出A；(2)利用余弦定理求出bc，再用面积公式求面积．【尝试解答】(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为12×283×32＝733.规律方法31.本例2在求解中通过,“b2＋c2－bc＝b＋c2－3bc”实现了“b＋c”与“bc”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．【解】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理，得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2·sin2A＝2021×34＝57.规范解答之六正、余弦定理在解三角形中的巧用————[1个示范例]————[1个规范练]————(12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.图3－7－1【规范解答】(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.2分在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.4分故PA＝72.6分(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.7分在△PBA中，由正弦定理得3sin150°＝sinαsin30°－α，9分化简得3cosα＝4sinα，11分所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.1