专题训练(六) 利用旋转证明或计算

专题训练(六)利用旋转证明或计算一、利用旋转进行计算1．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长．解：易证△APO≌△COD，∴AP＝OC，又∵AC＝9，AO＝3，∴AP＝OC＝62．如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.(1)求证：BH＝GH；(2)求BH的长．解：(1)连接AH，依题意，得正方形ABCD与正方形AEFG全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°，可证Rt△ABH≌Rt△AGH，∴BH＝GH(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°，设BH＝x，AH＝2x，在Rt△ABH中，BH2＋AB2＝AH2，即x2＋62＝(2x)2，∴x＝23，∴BH＝233．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)，求线段AD1的长度．解：易求∠OFE1＝120°，∴∠D1FO＝60°，∵∠CD1F＝30°，∴∠COB＝90°.∵∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝45°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.又∵AC＝BC，AB＝6，∴OA＝OB＝3，∵∠ACB＝90°，∴CO＝3，又∵CD1＝7，∴OD1＝CD1－OC＝7－3＝4，在Rt△AD1O中，AD1＝OA2＋OD12＝54．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图①，直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．解：(1)∠ABD＝30°－α2(2)△ABE是等边三角形．证明：连接AD，CD，∠DBC＝60°，BD＝BC，∴△BDC是等边三角形，∠BDC＝60°，BD＝DC，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∴∠ADB＝150°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°，∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，∴△ABE是等边三角形(3)∵BDC是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE－∠BCD＝90°，又∵∠DEC＝45°，∴CE＝CD＝BC.∴∠EBC＝15°.∵∠EBC＝∠ABD＝30°－α2，∴α＝30°二、利用旋转进行证明5．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF会是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形6．(1)如图①，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜12∠ABC)．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)，连接DE′.求证：DE′＝DE.(2)如图②，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.解：(1)∵△BE′A是由△BEC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转而得到，∴BE＝BE′，∠CBE＝∠ABE′，∠E′BE＝∠ABC.∵∠DBE＝12∠ABC，∴∠DBE＝∠DBE′，又∵BD＝BD，BE＝BE′，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′＝DE(2)将△CBE以点B为中心按逆时针方向旋转90°，得到△ABF，则AF＝CE，∠FAB＝∠C.∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°.∴∠FAD＝90°.∴DF2＝AD2＋AF2＝AD2＋CE2.由(1)知DF＝DE，故DE2＝AD2＋EC27．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为_____度时，边AD′落在边AE上；②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．60解：(1)∵△ACE，△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD(2)②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明：由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝12∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝12∠ACE＝30°，∴DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，∴BD′＝CD′，∴△BDD′≌△CPD′